1986-广东文-37 解-三棱锥的线面角与截面

本题导读

本题考查直线与平面所成的角以及截面面积。核心在于面面垂直推出线面垂直的链条运用。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 在三棱锥 $S-ABC$ 中，平面 $SAC\perp$ 平面 $ABC$，$AB=AC=a$，$\angle CAB=90^{\circ }$，$SA=SC=b$，求：

(1)棱 $SB$ 与底面 $ABC$ 所成角的正切；

(2)三棱锥 $S-ABC$ 被过 $S$ 且与 $BC$ 垂直的平面所截得的截面面积.

🔍【思路分析】

破题导航

作 $SD\perp AC$ 得 $SD\perp$ 底面；截面由 $BC\perp$ 平面 $SDE$ 确定。

✅【答案】

Success

(1) $\tan \angle SBD=\frac{\sqrt{20b^2-5a^2}}{5a}$

(2) $S=\frac{a}{16}\sqrt{8b^2-2a^2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)在平面 $SAC$ 内作 $SD\perp AC$，垂足为 $D$。因平面 $SAC\perp$ 平面 $ABC$，且平面 $SAC\cap$ 平面 $ABC=AC$，所以 $SD\perp$ 平面 $ABC$。连 $BD$，则 $BD$ 为 $SB$ 在平面 $ABC$ 上的射影，故 $\angle SBD$ 为 $SB$ 与平面 $ABC$ 所成的角。由 $SA=SC=b$，$AB=AC=a$，$\angle CAB=90^{\circ }$，得 $SD=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$。又 $BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+a^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}a$（$D$ 为 $AC$ 中点）。因 $SD\perp BD$，所以 $\tan \angle SBD=\frac{SD}{BD}=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{20b^2-5a^2}}{5a}$。 (2)在平面 $SBC$ 内过 $S$ 作 $SE\perp BC$，垂足为 $E$，连 $DE$。因 $SD\perp$ 平面 $ABC$，所以 $SD\perp BC$。又 $SD\cap SE=S$，所以 $BC\perp$ 平面 $SDE$。故直角三角形 $SDE$ 为所求截面。因为 $DE\perp BC$，$D$ 为 $AC$ 的中点，且 $\angle CAB=90^{\circ }$，所以 $DE=CE=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}a$。因此截面面积为 $S_{△SDE}=\frac{1}{2}SD\cdot DE=\frac{a}{16}\sqrt{8b^2-2a^2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的线面角与截面

核心方法：$SD\perp$ 平面 $ABC$，$\tan \angle SBD=\frac{SD}{BD}$。

避坑指南：$BC\perp$ 平面 $SDE$，截面 $S_{△SDE}=\frac{a}{16}\sqrt{8b^2-2a^2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 37 题同图异问（理问异面直线角）。

结论推广：面面垂直 $\Rightarrow$ 线面垂直 $\Rightarrow$ 线线垂直的链条。

方法推广：截面问题先证截面形状（本题 $BC\perp$ 平面 $SDE$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-37 解-线面垂直与异面直线所成的角
• 1995-全国卷文-24 解-圆柱中三棱锥的线面垂直与点面距离