1986-广东文-34 填-等差数列前二十项和

本题导读

本题考查等差数列基本量与前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)）若等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为正数，且 $a_{3} \cdot a_{7} = - 12$ ， $a_{4} + a_{6} = - 4$ ，则前 $20$ 项之和 $S_{20}$ 的值是\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

破题导航

$a_{4} + a_{6} = 2 a_{5} \Rightarrow a_{5} = - 2$ ； $a_{3} a_{7} = a_{5}^{2} - 4 d^{2}$ 。

✅【答案】

Success

$180$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_{4} + a_{6} = 2 a_{5} = - 4$ 得 $a_{5} = - 2$ 。又 $a_{3} = a_{5} - 2 d$ ， $a_{7} = a_{5} + 2 d$ ，故 $a_{3} a_{7} = a_{5}^{2} - 4 d^{2} = 4 - 4 d^{2} = - 12$ ，得 $d^{2} = 4$ 。由公差为正数， $d = 2$ 。 $a_{1} = a_{5} - 4 d = - 2 - 8 = - 10$ 。 $S_{20} = 20 a_{1} + \frac{20 \times 19}{2} d = - 200 + 190 \times 2 = 180$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列前二十项和

核心方法： $a_{4} + a_{6} = 2 a_{5} = - 4 \Rightarrow a_{5} = - 2$ ； $a_{3} a_{7} = a_{5}^{2} - 4 d^{2} = - 12 \Rightarrow d = 2$ 。

避坑指南： $a_{1} = - 10$ ， $S_{20} = 20 a_{1} + 190 d = 180$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 31 题同题。

结论推广： $a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$ （ $m + n = p + q$ ）与等积条件联立。

方法推广：先由和式定中项，再用 $a_{3} a_{7} = a_{5}^{2} - 4 d^{2}$ 解 $d$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

1986-广东理-31 填-等差数列求和

1987-广东文-25 单-等差数列的通项

∑ ( Math )

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