1986-广东文-33 填-万能公式求值

本题导读

本题考查由正切值求二倍角三角式的值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若 $\tan \theta =2$，则 $\frac{\sin 2\theta -\cos 2\theta }{1+{\cos }^2\theta }$ 的值是\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

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万能公式：$\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$，$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。

✅【答案】

Success

$\frac{7}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\tan \theta =2$：$\sin 2\theta =\frac{2\times 2}{1+4}=\frac{4}{5}$，$\cos 2\theta =\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$，${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1}{5}$。原式 $=\frac{\frac{4}{5}-(-\frac{3}{5})}{1+\frac{1}{5}}=\frac{\frac{7}{5}}{\frac{6}{5}}=\frac{7}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：万能公式求值

核心方法：$\sin 2\theta =\frac{4}{5}$，$\cos 2\theta =-\frac{3}{5}$，${\cos }^2\theta =\frac{1}{5}$。

避坑指南：$\frac{\frac{4}{5}+\frac{3}{5}}{1+\frac{1}{5}}=\frac{7}{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1988 广东文第 7 题同考二倍角求值。

结论推广：万能公式：$\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }$，$\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }$。

方法推广：${\cos }^2\theta =\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }$ 同源。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-07 单-同角三角函数的倒数关系与二倍角
• 1988-广东理-05 单-同角三角函数的倒数关系与二倍角