1986-广东文-30 填-数列的极限

本题导读

本题考查含根式的数列极限。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=$\u3000\u3000.

🔍【思路分析】

破题导航

分子分母同除 $\sqrt{n}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除 $\sqrt{n}$：原式 $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列的极限

核心方法：分子分母同除 $\sqrt{n}$。

避坑指南：极限 $=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 33 题同考数列极限。

结论推广：$\lim \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$：同除最高阶无穷大。

方法推广：$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\to 0$，分母 $\to 2\sqrt{n}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

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