1986-广东文-15 单-两角和的正切

本题导读

本题考查两角和的正切公式。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 若 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，$0<\beta <\frac{\pi }{2}$，且 $\tan \alpha =\frac{1}{7}$，$\tan \beta =\frac{3}{4}$，则 $\alpha +\beta =$()

A. $\frac{\pi }{6}$　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$　　　　　E. $\frac{3}{4}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1$。由 $\alpha ,\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$ 得 $\alpha +\beta \in (0,\pi )$；又 $1-\tan \alpha \tan \beta =\frac{25}{28}>0$，故 $\cos (\alpha +\beta )>0$，$\alpha +\beta \in (0,\frac{\pi }{2})$，得 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两角和的正切

核心方法：$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{28}}=1$。

避坑指南：$\alpha +\beta \in (0,\pi )$，$=\frac{\pi }{4}$，选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 2 题同型（差角版）。

结论推广：$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$。

方法推广：求出正切值后必须在角的范围内定角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-02 单-两角差的正切
• 1988-广东文-20 单-正切的和角公式