1986-广东文-01 单-指数方程的解集

本题导读

本题考查指数方程的解法，以及换元化归。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 方程 $2^{2x+1}-9\times 2^x+4=0$ 的解集是 ()

A. $\{2\}$　　　　B. $\{-1\}$　　　　C. $\{\frac{1}{2}\}$　　　　D. $\{-1,2\}$　　　　E. $\{\frac{1}{2},2\}$

🔍【思路分析】

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令 $t=2^x>0$，化为 $2t^2-9t+4=0$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=2^x>0$，则 $2t^2-9t+4=0$，即 $(2t-1)(t-4)=0$，得 $t=\frac{1}{2}$ 或 $t=4$。由 $2^x=\frac{1}{2}$ 得 $x=-1$；由 $2^x=4$ 得 $x=2$。故解集为 $\{-1,2\}$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程的解集

核心方法：换元 $t=2^x>0$，化为 $2t^2-9t+4=0$。

避坑指南：$t=4$ 或 $\frac{1}{2}$，解集 $\{-1,2\}$，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 全国文第 11 题同考指数方程。

结论推广：指数方程 $a\cdot b^{2x}+c\cdot b^x+d=0$ 都可换元为一元二次方程。

方法推广：换元法是处理 $b^x$ 复合方程的通法，注意验证 $t>0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国文-11 填-指数方程
• 1988-广东文-02 单-指数方程的求解