1986-全国理-22 解-递推数列的单调性

本题导读

本题考查递推数列的单调性、数学归纳法。核心在于作差比较法、作差因式分解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)）已知 $x_{1} > 0, x_{1} \neq = 1$ , 且 $x_{n + 1} = \frac{x _{n} ( x _{n}^{2} + 3 )}{3 x _{n}^{2} + 1}, (n = 1, 2, \dots)$ . 试证：数列 ${x_{n}}$ 或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_{n} < x_{n + 1}$ ，或者对任意自然数 $n$ 都满足 $x_{n} > x_{n + 1}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

执行差值运算锁定核心判定因子：要证数列具有整体单调性（递增或递减），首先对相邻两项进行作差运算： $x_{n + 1} - x_{n}$ 。通过通分简化，将其分子转化为包含 $(1 - x_{n}^{2})$ 结构的因式结构。

分析临界稳定点与区间划分：通过作差表达式可见，分母恒为正。数列的单调增减方向完全受到项值 $x_{n}$ 与不动点不变量 $1$ 的大小相对关系（即 $1 - x_{n}^{2}$ 的正负号）的控制。因为题目给出首项 $x_{1} > 0$ 且 $x_{1} \neq = 1$ ，所以自变量结构自然划分为两个对立空间： $(0, 1)$ 以及 $(1, + \infty)$ 。

利用数学归纳法完成严格论证：

分支一：当 $x_{1} \in (0, 1)$ 时，证明对任意自然数 $n$ 恒有 $x_{n} \in (0, 1)$ 。此时差值恒大于 0，说明数列全局单调递增。

分支二：当 $x_{1} \in (1, + \infty)$ 时，证明对任意自然数 $n$ 恒有 $x_{n} \in (1, + \infty)$ ．此时差值恒小于 0，说明数列全局单调递减。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明： 第一步：作差定单调方向。 $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{x _{n} ( x _{n}^{2} + 3 )}{3 x _{n}^{2} + 1} - x_{n} = \frac{x _{n}^{3} + 3 x _{n} - x _{n} ( 3 x _{n}^{2} + 1 )}{3 x _{n}^{2} + 1} = \frac{2 x _{n} ( 1 - x _{n}^{2} )}{3 x _{n}^{2} + 1}$ 。由 $x_{1} > 0$ 及递推式知对任意 $n$ 有 $x_{n} > 0$ ，故分母 $3 x_{n}^{2} + 1 > 0$ 、 $2 x_{n} > 0$ ，差值的符号完全由 $1 - x_{n}^{2}$ 决定。

第二步：分情况讨论。 情况甲： $0 < x_{1} < 1$ 。 先用数学归纳法证 $0 < x_{n} < 1$ 对任意 $n$ 成立：当 $n = 1$ 时， $0 < x_{1} < 1$ 成立。设 $0 < x_{k} < 1$ ，则 $x_{k + 1} = \frac{x _{k} ( x _{k}^{2} + 3 )}{3 x _{k}^{2} + 1} > 0$ ；又 $1 - x_{k + 1} = 1 - \frac{x _{k}^{3} + 3 x _{k}}{3 x _{k}^{2} + 1} = \frac{3 x _{k}^{2} + 1 - x _{k}^{3} - 3 x _{k}}{3 x _{k}^{2} + 1} = \frac{( 1 - x _{k} ) ^{3}}{3 x _{k}^{2} + 1} > 0$ ，故 $0 < x_{k + 1} < 1$ 。归纳得证。于是 $1 - x_{n}^{2} > 0$ ， $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{2 x _{n} ( 1 - x _{n}^{2} )}{3 x _{n}^{2} + 1} > 0$ ，即 $x_{n} < x_{n + 1}$ 。

情况乙： $x_{1} > 1$ 。 同理用数学归纳法证 $x_{n} > 1$ ：设 $x_{k} > 1$ ，则 $1 - x_{k + 1} = \frac{( 1 - x _{k} ) ^{3}}{3 x _{k}^{2} + 1} < 0$ ，故 $x_{k + 1} > 1$ 。于是 $1 - x_{n}^{2} < 0$ ， $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{2 x _{n} ( 1 - x _{n}^{2} )}{3 x _{n}^{2} + 1} < 0$ ，即 $x_{n} > x_{n + 1}$ 。

综上，数列 ${x_{n}}$ 或者对任意 $n$ 都满足 $x_{n} < x_{n + 1}$ （ $0 < x_{1} < 1$ 时），或者对任意 $n$ 都满足 $x_{n} > x_{n + 1}$ （ $x_{1} > 1$ 时），命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

作差因式分解： $x_{n + 1} - x_{n} = \frac{2 x _{n} ( 1 - x _{n}^{2} )}{3 x _{n}^{2} + 1}$ ，符号由 $1 - x_{n}^{2}$ 决定，不能直接下结论，必须先锁定 $x_{n}$ 的范围。

区间不变性：用数学归纳法证明「首项落在哪个区间，后续所有项都逃不出该区间」，这是判断全域单调的关键。

完全立方识别： $3 x_{k}^{2} + 1 - x_{k}^{3} - 3 x_{k} = (1 - x_{k})^{3}$ ，能一眼识别这个恒等式，才能完成 $1 - x_{k + 1}$ 符号的跨代传递。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材”迭代数列”与函数不动点思想，由 $f (x) = \frac{x ( x ^{2} + 3 )}{3 x ^{2} + 1}$ 迭代生成，考查作差判号、归纳锁区间，是数列与函数综合的经典母题。

结论推广：递推函数 $f (x) = \frac{x ( x ^{2} + 3 )}{3 x ^{2} + 1}$ 以 $x^{*} = 1$ 为不动点， $(0, 1)$ 和 $(1, + \infty)$ 分别是左右两侧的吸引域，轨道在两侧分别单调递增、单调递减地趋近于 1。

方法推广：证明递推数列单调，先作差 $x_{n + 1} - x_{n}$ 并因式分解，再由首项范围用数学归纳法锁定 $x_{n}$ 所在的区间。

🔗【关联脉络】

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1986-上海文-24 填-数列极限

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