1986-全国理-20 解-集合与组合计数

本题导读

本题考查容斥原理与组合计数。核心在于补集计数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 已知集合 $A$ 和集合 $B$ 各含有 $12$ 个元素，$A\cap B$ 含有 $4$ 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 $C$ 的个数：

(1) $C\subseteq A\cup B$ 且 $C$ 中含有 $3$ 个元素；

(2) $C\cap A\ne \varnothing$（$\varnothing$ 表示空集）.

🔍【思路分析】

破题导航

先由容斥原理求 $|A\cup B|=20$，再用补集思想：总数 ${\mathrm{C}}_{20}^3$ 减去「$C\cap A=\varnothing$」的个数 ${\mathrm{C}}_8^3$。

✅【答案】

Success

$1084$

✍【详细解析】

Abstract

由容斥原理，$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=12+12-4=20$。

条件 (1) 要求 $C\subseteq A\cup B$ 且 $|C|=3$，即从 $20$ 个元素中任取 $3$ 个，总数为 ${\mathrm{C}}_{20}^3=\frac{20\times 19\times 18}{3\times 2\times 1}=1140$。

条件 (2) 要求 $C\cap A\ne \varnothing$。其对立情形为 $C\cap A=\varnothing$，即 $C$ 的三个元素全部取自 $A\cup B$ 中不属于 $A$ 的部分，该部分有 $|A\cup B|-|A|=20-12=8$ 个元素，故对立情形的个数为 ${\mathrm{C}}_8^3=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$。

由补集计数原理，满足条件的集合 $C$ 的个数为 ${\mathrm{C}}_{20}^3-{\mathrm{C}}_8^3=1140-56=1084$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 容斥原理：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=12+12-4=20$。
• 补集计数：「至少与 $A$ 交非空」用总数减去对立情形，即 ${\mathrm{C}}_{20}^3-{\mathrm{C}}_8^3$。
• 审题：题中「$A\cap B$ 含 $4$ 个元素」是交集不是并集；对立情形 $C\cap A=\varnothing$ 要求 $C$ 的三个元素全取自 $A\cup B$ 中不属于 $A$ 的那 $8$ 个元素。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于集合的容斥原理与组合计数，考查 $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ 及”正难则反”的补集思想，是排列组合中”至少”型问题的经典母题。

2. 结论推广：若 $|U|=n$、$|A|=a$，则从 $U$ 中取 $m$ 个元素且与 $A$ 交非空的子集个数为 ${\mathrm{C}}_n^m-{\mathrm{C}}_{n-a}^m$。

3. 方法推广：「至少有一个」类计数优先用补集（总数减对立情形）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-08 单-组合计数（选医疗小组）
• 1988-全国文-14 单-组合计数（至少含次品）
• 1987-全国卷理-20 解-数列的通项与极限
• 1990-全国卷理-19 填-三角函数的最值