1985-全国理-17 解-集合与存在性讨论

本题导读

本题考查集合交集的代数转化与存在性问题。核心在于把 $A\cap B\ne \varnothing$ 转化为含整数参数的等式，再用判别式法导出矛盾。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 设 $a,b$ 是两个实数，$A=\{(x,y)\mid x=n,y=na+b,n\text{ 是整数}\}$，$B=\{(x,y)\mid x=m,y=3m^2+15,m\text{ 是整数}\}$，$C=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 144\}$ 是平面 $xOy$ 内的点集合，讨论是否存在 $a$ 和 $b$ 使得

(1) $A\cap B\ne \varnothing$（$\varnothing$ 表示空集）；

(2) $(a,b)\in C$

同时成立．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $A\cap B\ne \varnothing$，得存在整数 $n$ 使 $na+b=3n^2+15$，即 $b=3n^2+15-na$。
2. 由 $(a,b)\in C$，代入得关于 $a$ 的二次不等式。
3. 用判别式法判定存在性，导出与 $n$ 为整数的矛盾。

✅【答案】

Success

不存在这样的实数 $a$ 和 $b$

✍【详细解析】

Abstract

假设存在实数 $a,b$ 满足题意。 由 $A\cap B\ne \varnothing$，存在整数 $n,m$ 使 $n=m$ 且 $na+b=3m^2+15$，故 $na+b=3n^2+15$，即 $b=3n^2+15-na$。 由 $(a,b)\in C$，$a^2+b^2\le 144$，代入 $b$ 得 $a^2+(3n^2+15-na{)}^2\le 144$， 展开并按 $a$ 的降幂排列： $(n^2+1)a^2-2n(3n^2+15)a+\left[(3n^2+15{)}^2-144\right]\le 0$。 要使关于 $a$ 的一元二次不等式有解，其判别式须非负： $\Delta ={\left[-2n(3n^2+15)\right]}^2-4(n^2+1)\left[(3n^2+15{)}^2-144\right]\ge 0$， 即 $\frac{\Delta }{4}=n^2(3n^2+15{)}^2-(n^2+1)(3n^2+15{)}^2+144(n^2+1)=-(3n^2+15{)}^2+144(n^2+1)\ge 0$。 展开：$-(9n^4+90n^2+225)+144n^2+144=-9n^4+54n^2-81\ge 0$， 同除以 $-9$（不等号反向）：$n^4-6n^2+9\le 0$，即 $(n^2-3{)}^2\le 0$。 因 $(n^2-3{)}^2\ge 0$ 恒成立，故只能 $(n^2-3{)}^2=0$，即 $n^2=3$，这与 $n$ 为整数矛盾。 故假设不成立，不存在这样的实数 $a$ 和 $b$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 交集化等式：$A\cap B\ne \varnothing$ 的代数含义是两集合点的坐标”对齐”，横坐标 $n=m$ 锁定后纵坐标相等，实现降元。
• 判别式定存在性：关于 $a$ 的二次不等式有解的充要条件是判别式非负；同除负数时不等号要反向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于解析几何中直线与抛物线的位置关系，将连续曲线离散化为整点格集，考查交集思想、判别式法与整数约束的综合运用，体现”数形结合”与”离散化”命题立意。

2. 结论推广：离散格点 $B=\{(m,3m^2+15)\}$ 与直线族 $A$ 的交点落在圆盘 $C$ 内的参数 $(a,b)$ 不存在，本质是”连续圆盘与二次抛物线格点的整点对齐”无解。

3. 方法推广：存在性讨论题，先由交集条件反解一个参数，代入不等式后用判别式法判定，最后借助”整数平方”等离散约束导出矛盾。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-20 解-集合与组合计数