1986-全国理-14 填-数列的极限

本题导读

本题考查数列极限，以及指数式极限。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)） 求 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{3^{n+1}+(-2{)}^{n+1}}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别主导项：
   • 观察分子与分母中的指数项底数，分别为 $3$ 与 $-2$。
   • 因为 $|3|>|-2|$，当 $n\to \infty$ 时， $3^n$ 的增长速度远快于 $(-2{)}^n$ 的波动幅度。因此， $3^n$ 和 $3^{n+1}$ 是决定极限走向的主导项。
2. 消除未定式：
   • 方程呈现 $\frac{\infty }{\infty }$ 型未定式结构。
   • 将分子与分母同时除以主导基数的高次幂 $3^n$，使次要项转化为公比绝对值小于 1 的几何级数形式。
3. 应用极限运算法则：
   • 利用已知结论：当 $|q|<1$ 时， ${\lim }_{n\to \infty }{q}^n=0$，脱去无穷小项，输出确定值。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

分子分母同除以主导项 $3^n$： $\frac{3^n+(-2{)}^n}{3^{n+1}+(-2{)}^{n+1}}=\frac{1+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{3-2{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}$。 因为 $\left|-\frac{2}{3}\right|<1$，所以 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n=0$。 故 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{3^n+(-2{)}^n}{3^{n+1}+(-2{)}^{n+1}}=\frac{1+0}{3-0}=\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 主导项：$|3|>|-2|$，故 $3^n$、$3^{n+1}$ 是主导项，分子分母同除以 $3^n$ 即可消除 $\frac{\infty }{\infty }$ 未定式。
• 负底数处理：$(-2{)}^n$ 含负底数，除以 $3^n$ 后化为 ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^n$，其绝对值小于 1，直接趋于 0，无需分奇偶讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中”等比数列前 $n$ 项和”与”指数函数增长”的极限思想，考查 $|q|<1$ 时 $q^n\to 0$ 这一基本极限，是数列极限与指数运算的综合运用。

2. 结论推广：${\lim }_{n\to \infty }\frac{A{a}^n+B{b}^n}{C{a}^{n+k}+D{b}^{n+k}}=\frac{A}{C{a}^k}$（当 $|a|>|b|>0$ 且 $C\ne 0$）。

3. 方法推广：指数式极限先抓主导底数，同除以主导项，把次要项化成 $q^n$（$|q|<1$）趋于 0。

🔗【关联脉络】

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