1986-全国文-18 解-复数的辐角与最值

本题导读

本题考查复数模的几何意义与辐角主值的最值。核心在于把模方程化为圆，在切点处取辐角极值。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(文)） 求满足方程 $\left|z+3-\sqrt{3}\mathrm{i}\right|=\sqrt{3}$ 的辐角主值最小的复数 $z$.

🔍【思路分析】

破题导航

模方程是以 $(-3,\sqrt{3})$ 为圆心、$\sqrt{3}$ 为半径的圆；从原点引切线，切点辐角最值。

✅【答案】

Success

$z=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=x+y\mathrm{i}$，方程表示以 $A(-3,\sqrt{3})$ 为圆心、$\sqrt{3}$ 为半径的圆。$|OA|=2\sqrt{3}$，圆心辐角为 $\frac{5\pi }{6}$。从原点作圆的切线，$\sin \delta =\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，$\delta =\frac{\pi }{6}$。故圆上各点辐角主值介于 $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ 与 $\pi$ 之间，最小值 $\frac{2\pi }{3}$ 在切点处取得。设切点 $z=t(\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3})$，代入圆方程得 $(t-3{)}^2=0$，$t=3$。故 $z=3\left(\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角与最值

核心方法：圆 $|z+3-\sqrt{3}\mathrm{i}|=\sqrt{3}$，圆心辐角 $\frac{5\pi }{6}$，切线半角 $\delta =\frac{\pi }{6}$。

避坑指南：最小辐角 $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$，切点模长 $\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{3}{)}^2}=3$，$z=3(\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3})=-\frac{3}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的几何意义。

结论推广：圆上辐角极值在切点。

方法推广：切线长定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 1989-上海-26 解-复数集合与辐角模
• 1987-全国文-04 单-复数的三角形式与辐角
• 1990-广东理-16 单-复数的三角形式