1986-上海理-35 解-折叠与二面角

本题导读

本题考查平面图形折叠后二面角的求法，核心在于折前折后的不变量与三垂线定理。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 已知直角三角形 $ABC$ 的两直角边 $AC=2$，$BC=3$，$P$ 为斜边 $AB$ 上一点（图1）.现沿 $CP$ 将此三角形折成直二面角 $A-CP-B$，当 $AB=\sqrt{7}$ 时，求二面角 $P-AC-B$ 的大小（图2）.

🔍【思路分析】

破题导航

折后 $\angle ACB=60^{\circ }$，由直二面角与 $\cos \angle ACP\cdot \cos \angle PCB=\cos \angle ACB$ 定 $\angle ACP$，再用三垂线定理构造平面角。

✅【答案】

Success

$\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解法一（余弦定理定角）：在 $△ACB$ 中，$BC=3$，$AC=2$，$AB=\sqrt{7}$，$\cos \angle ACB=\frac{3^2+2^2-7}{2\cdot 3\cdot 2}=\frac{1}{2}$，故 $\angle ACB=60^{\circ }$。因 $A-CP-B$ 为直二面角，$\angle ACP+\angle PCB=90^{\circ }$，且 $\cos \angle ACP\cdot \cos \angle PCB=\cos \angle ACB=\frac{1}{2}$，即 $\cos \angle ACP\cdot \sin \angle ACP=\frac{1}{2}$，$\sin 2\angle ACP=1$，得 $\angle ACP=45^{\circ }=\angle BCP$。 自 $P$ 作 $PR\perp$ 平面 $ACB$，垂足为 $R$；因 $\angle ACP=\angle BCP$，$R$ 在 $\angle ACB$ 的平分线上。自 $R$ 作 $RH\perp AC$，连 $PH$，由三垂线定理 $PH\perp AC$，故 $\angle PHR$ 为二面角 $P-AC-B$ 的平面角。又 $PH=CH$，$RH=CH\tan 30^{\circ }$，$\cos \angle PHR=\frac{RH}{PH}=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$。故二面角大小为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠与二面角

核心方法：折后 $\angle ACB=60^{\circ }$（余弦定理），$\cos \angle ACP\cos \angle PCB=\cos \angle ACB$。

避坑指南：$\sin 2\angle ACP=1$ 得 $\angle ACP=45^{\circ }$；$R$ 在角平分线上，$PH=CH$，$RH=CH\tan 30^{\circ }$，$\cos \angle PHR=\frac{\sqrt{3}}{3}$，二面角为 $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折叠问题。

结论推广：折前折后不变量：$CP$ 上线段长、$CP$ 两侧直角。

方法推广：余弦定理 + 三垂线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1993-新高考文-23 填-折叠图形中的二面角
• 2005-湖南卷文-18 解-平面图形折叠成直二面角