1985-广东文-29 解-直三棱柱中的垂直与二面角

本题导读

本题考查直三棱柱中的线面垂直、异面直线距离与二面角余弦。核心在于公垂线段的构造与射影面积比。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） 已知直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱 $A{A}_1=4\text{ cm}$，它的底面 $△ABC$ 中有 $AC=BC=2\text{ cm}$，$\angle C=90^{\circ }$，$E$ 是 $AB$ 的中点.

(1)求证：$CE\perp A{B}_1$.

(2)求证：$CE$ 和 $A{B}_1$ 所在的异面直线的距离等于 $\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$.

(3)设截面 $AC{B}_1$ 与侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 所成较小的二面角为 $\alpha$，试求 $\cos \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)证 $CE\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$；(2)$ED$ 为公垂线段；(3)$\cos \alpha =\frac{S_{射影}}{S_{原形}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

✅【答案】

Success

(1) (2) 证明见解析

(3) $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)因 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是直三棱柱，$A{A}_1\perp$ 底面 $ABC$。又 $CE\subset$ 平面 $ABC$，故 $CE\perp A{A}_1$。因 $E$ 是等腰 $△ABC$ 底边 $AB$ 中点，$CE\perp AB$。故 $CE\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。又 $A{B}_1\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，故 $CE\perp A{B}_1$。 (2)过 $E$ 作 $ED\perp A{B}_1$ 于 $D$，因 $ED\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，$CE\perp ED$，故 $ED$ 是 $CE$ 与 $A{B}_1$ 的公垂线段。因 $AC=BC=2$，$\angle C=90^{\circ }$，$AB=2\sqrt{2}$，$AE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$。在 $\mathrm{Rt}△AB{B}_1$ 中，$B{B}_1=4$，$A{B}_1=\sqrt{A{B}^2+B{B}_1^2}=\sqrt{8+16}=2\sqrt{6}$。由 $△AB{B}_1\sim △ADE$，$ED=\frac{AE\cdot B{B}_1}{A{B}_1}=\frac{\sqrt{2}\cdot 4}{2\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$。 (3)方法一：因 $ED\perp A{B}_1$，$CE\perp$ 侧面 $AB{B}_1{A}_1$，连 $CD$，由三垂线定理 $CD\perp A{B}_1$，故 $\angle CDE$ 是二面角的平面角。$CE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$，$\tan \alpha =\frac{CE}{ED}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}/3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\sec \alpha =\sqrt{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{\sqrt{10}}{2}$，故 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{5}$。 方法二：因 $CE\perp$ 侧面 $AB{B}_1{A}_1$，$△CA{B}_1$ 在侧面上的射影是 $△EA{B}_1$，故 $\cos \alpha =\frac{S_{△EA{B}_1}}{S_{△CA{B}_1}}$。$B_{1}C=\sqrt{B_1{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，$A{B}_1=2\sqrt{6}$，$AC=2$，由海伦公式 $S_{△CA{B}_1}=2\sqrt{5}$；$S_{△EA{B}_1}=\frac{1}{2}\cdot A{B}_1\cdot ED=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$。故 $\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱中的垂直与二面角

核心方法：三垂线定理与射影法

避坑指南：异面直线距离用公垂线段 $ED$，$\cos \alpha =\frac{S_{射影}}{S_{原形}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直三棱柱中的综合问题

结论推广：等腰直角三角形底面时 $CE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$

方法推广：射影面积比求二面角余弦

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-22 解-二面角与等差数列
• 1986-上海理-35 解-折叠与二面角