1986-上海理-33 解-棣莫佛定理与纯虚数

本题导读

本题考查棣莫弗定理与复数模的最值，核心在于实部虚部的分离与分类讨论。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 已知 $k$ 为实数，复数 $z=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$.

(1)当 $k$ 和 $\theta$ 分别为何值时，复数 $z^3+k{z}^3$ 是纯虚数；

(2)当 $\theta$ 变化时，求出 $|z^3+k{z}^3|$ 的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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用棣莫弗定理 $z^3=\cos 3\theta +\mathrm{i}\sin 3\theta$，分离实虚部。

✅【答案】

Success

(1) $k=-1$ 且 $\theta \ne \frac{n\pi }{3}$；或 $k\ne 1$ 且 $\theta =\frac{2n\pi }{3}\pm \frac{\pi }{6}$（$n\in \mathbf{Z}$）

(2) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

由棣莫弗定理 $z^3+k{z}^3=(\cos 3\theta +\mathrm{i}\sin 3\theta )+k(\cos 3\theta -\mathrm{i}\sin 3\theta )=(1+k)\cos 3\theta +\mathrm{i}(1-k)\sin 3\theta$。 (1)纯虚数要求实部为零且虚部非零： 当 $1+k=0$（即 $k=-1$）时，需 $\sin 3\theta \ne 0$，即 $\theta \ne \frac{n\pi }{3}$； 当 $1-k=0$（即 $k=1$）时，实部 $2\cos 3\theta$，虚部为零，不为纯虚数； 当 $k\ne \pm 1$ 时，需 $\cos 3\theta =0$ 且 $\sin 3\theta \ne 0$，即 $3\theta =\frac{\pi }{2}+n\pi$，$\theta =\frac{2n\pi }{3}\pm \frac{\pi }{6}$。 综上：$k=-1$ 且 $\theta \ne \frac{n\pi }{3}$；或 $k\ne 1$ 且 $\theta =\frac{2n\pi }{3}\pm \frac{\pi }{6}$（$n\in \mathbf{Z}$）。 (2)$|z^3+k{z}^3{|}^2=(1+k{)}^2{\cos }^{2}3\theta +(1-k{)}^2{\sin }^{2}3\theta =1+k^2+2k\cos 6\theta$。 当 $k>0$：最大 $1+k^2+2k=(1+k{)}^2$，最小 $1+k^2-2k=(1-k{)}^2$，故最大值 $1+k$、最小值 $|1-k|$； 当 $k=0$：恒为 $1$，最大最小都是 $1$； 当 $k<0$：最大 $1+k^2-2k=(1-k{)}^2$，最小 $(1+k{)}^2$，故最大值 $1-k$、最小值 $|1+k|$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棣莫佛定理与纯虚数

核心方法：$z^3+k{z}^{-3}=(1+k)\cos 3\theta +\mathrm{i}(1-k)\sin 3\theta$。

避坑指南：纯虚数：实部为零且虚部非零，分 $k=-1$ 与 $k\ne 1$ 两类；模平方 $=1+k^2+2k\cos 6\theta$，按 $k$ 的符号讨论最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棣莫弗定理。

结论推广：$z^n=r^n(\cos n\theta +\mathrm{i}\sin n\theta )$。

方法推广：模长按 $k$ 分类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-广东理-33 解-复数的辐角与纯虚数条件
• 1986-全国文-18 解-复数的辐角与最值