1985-上海理-18 解-复数的三角形式与正弦定理

本题导读

本题考查复数三角形式与正弦定理的综合。核心在于证明 $z_1+z_2$ 的虚部为零。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 设 $△ABC$ 的两个内角 $A$，$B$ 所对的边分别为 $a$，$b$.若复数 $z_1$ 的模为 $a$，辐角为 $B$；复数 $z_2$ 的模为 $b$，辐角为 $-A$.求证 $z_1+z_2$ 为实数.

🔍【思路分析】

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写三角形式，虚部为 $a\sin B-b\sin A$，用正弦定理化为零。

✅【答案】

Success

证明略（见解析）

✍【详细解析】

Abstract

由复数的三角形式，$z_1=a(\cos B+i\sin B)$，$z_2=b(\cos A-i\sin A)$，故 $z_1+z_2=(a\cos B+b\cos A)+i(a\sin B-b\sin A)$。由正弦定理，存在外接圆半径 $R$ 使 $a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，于是 $a\sin B=b\sin A=2R\sin A\sin B$，虚部为零，故 $z_1+z_2$ 为实数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的三角形式与正弦定理

核心方法：复数三角形式 + 正弦定理证虚部为零

避坑指南：$a\sin B=b\sin A=2R\sin A\sin B$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数三角形式与三角形边角关系

结论推广：$a=2R\sin A,b=2R\sin B$ 是核心桥梁

方法推广：虚部用正弦定理约去

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-33 解-棣莫佛定理与纯虚数
• 1986-全国文-01 单-复数的三角形式