1986-上海理-18 单-复数模与平方

本题导读

本题考查复数的模与平方的关系。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(理)） 设复数 $z=a+b\mathrm{i}$（$a$，$b\in \mathbf{R}$，且 $b\ne 0$），则 $|z^2|$，$|z{|}^2$，$z^2$ 的关系是 ()

A. $|z^2|=|z{|}^2\ne z^2$　　　　　　　　　　　　　　　B. $|z^2|=|z{|}^2=z^2$

C. $|z^2|\ne |z{|}^2=z^2$　　　　　　　　　　　　　　　　D. 互不相等

🔍【思路分析】

破题导航

$|z^2|=|z{|}^2$ 恒成立；$z^2$ 是复数（$b\ne 0$ 时虚部非零），而 $|z{|}^2$ 是实数。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$|z^2|=|z{|}^2=a^2+b^2$ 恒成立。而 $z^2=a^2-b^2+2ab\mathrm{i}$，因 $b\ne 0$，其虚部 $2ab$ 可能为零（$a=0$ 时 $z^2=-b^2<0$ 仍为实数但 $-b^2\ne a^2+b^2$），一般 $z^2\ne |z{|}^2$。故 $|z^2|=|z{|}^2\ne z^2$。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数模与平方

核心方法：$|z^2|=|z{|}^2=|z{|}^2$ 恒成立；$z^2$ 为复数一般不等于实数 $|z{|}^2$。

避坑指南：$|z^2|=|z{|}^2\ne z^2$，选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：模的运算性质。

结论推广：$|z^2|=|z{|}^2$；$z^2$ 未必是实数。

方法推广：复数与实数区分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1988-全国文-06 单-共轭复数对应点
• 1987-广东理-32 解-复数的三角式运算