1985-广东文-09 填-双曲线的渐近线夹角

本题导读

本题考查双曲线渐近线所夹锐角的计算。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ 的两条渐近线所夹的锐角的大小是 $\underline{}$弧度.

🔍【思路分析】

破题导航

渐近线 $y=\pm \frac{x}{\sqrt{3}}$，斜率 $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$，夹角 $2\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}$。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

渐近线方程为 $y=\pm \frac{x}{\sqrt{3}}$，斜率 $k=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$，倾角为 $\frac{\pi }{6}$ 与 $\frac{5\pi }{6}$。两渐近线所夹锐角为 $\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ 的补角 $\frac{\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的渐近线夹角

核心方法：渐近线斜率定夹角

避坑指南：渐近线 $y=\pm \frac{x}{\sqrt{3}}$，夹角 $\frac{\pi }{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线渐近线的夹角

结论推广：渐近线夹角 $\tan \theta =\frac{b}{a}$ 时 $\theta =\arctan \frac{b}{a}$

方法推广：由渐近线斜率定角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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