1985-广东文-07 填-等差数列求和与数列极限

本题导读

本题考查等差数列前 $n$ 项和与数列极限。

📌【题干】

Question

（1985年广东卷(文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+4+7+\cdots +(3n-2)}{n(n+1)}$ 的值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

分子为等差数列前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

分子是首项 1、公差 3 的等差数列前 $n$ 项和，$S_n=\frac{n[1+(3n-2)]}{2}=\frac{n(3n-1)}{2}$。故原式 $={\lim }_{n\to \infty }\frac{n(3n-1)/2}{n(n+1)}={\lim }_{n\to \infty }\frac{3n-1}{2(n+1)}=\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列求和与数列极限

核心方法：先求前 $n$ 项和再取极限

避坑指南：等差数列前 $n$ 项和公式 $S_n=\frac{n(3n-1)}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列求和与极限综合

结论推广：${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{n(n+1)}$ 型的极限

方法推广：先求通项和再取极限

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-30 填-数列的极限
• 1986-广东理-33 填-数列极限