1985-全国理-11 解-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解。核心在于定义域先行与化同底。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)）解方程： $lo g_{4} (3 - x) + lo g_{0.25} (3 + x) = lo g_{4} (1 - x) + lo g_{0.25} (2 x + 1)$ .

🔍【思路分析】

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先由各对数真数为正确定定义域。

利用换底公式把 $lo g_{0.25}$ 化为以 $4$ 为底，再合并同类项。

✅【答案】

Success

$x = 0$

✍【详细解析】

Abstract

由真数为正，需 $3 - x > 0$ 、 $3 + x > 0$ 、 $1 - x > 0$ 、 $2 x + 1 > 0$ ，解得 $- \frac{1}{2} < x < 1$ 。注意到 $lo g_{0.25} y = lo g_{\frac{1}{4}} y = - lo g_{4} y$ ，原方程化为 $lo g_{4} (3 - x) - lo g_{4} (3 + x) = lo g_{4} (1 - x) - lo g_{4} (2 x + 1)$ ，即 $lo g_{4} \frac{3 - x}{3 + x} = lo g_{4} \frac{1 - x}{2 x + 1}$ 。由对数函数单调性， $\frac{3 - x}{3 + x} = \frac{1 - x}{2 x + 1}$ ，交叉相乘得 $(3 - x) (2 x + 1) = (3 + x) (1 - x)$ ，展开： $- 2 x^{2} + 5 x + 3 = - x^{2} - 2 x + 3$ ，即 $x^{2} - 7 x = 0$ ，解得 $x = 0$ 或 $x = 7$ 。检验定义域， $x = 7$ 不合，舍去； $x = 0$ 在 $(- \frac{1}{2}, 1)$ 内。故原方程的解为 $x = 0$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

换底公式： $lo g_{\frac{1}{4}} y = - lo g_{4} y$ ，把底数小于 $1$ 的对数化为底数大于 $1$ ，便于合并。

验根：解出的根必须逐一检验是否满足定义域，本题 $x = 7$ 为增根须舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数运算性质与方程同解变形，考查化同底、真数大于零及增根检验，是八十年代高考对函数与方程思想的典型检测。

结论推广： $lo g_{a} y$ 与 $lo g_{\frac{1}{a}} y$ 互为相反数，即 $lo g_{\frac{1}{a}} y = - lo g_{a} y$ 。

方法推广：对数方程先写定义域，再化同底合并，最后验根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

06.01 幂指对函数图象与性质

04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

1986-广东理-36 解-对数方程的求解

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1985-全国理-11 解-对数方程的求解

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