1985-全国理-06 填-三角方程的解集

本题导读

本题考查简单三角方程的通解求解，以及集合的规范表示。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(理)） 求方程 $2\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 的解集 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 两边同除以 $2$，化为 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。
2. 令 $\theta =x+\frac{\pi }{6}$，先求 $\sin \theta =\frac{1}{2}$ 的通解，再反解 $x$。

✅【答案】

Success

$\left\{x\mid x=2k\pi \text{ 或 }x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

两边同除以 $2$，得 $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$。 令 $\theta =x+\frac{\pi }{6}$，则 $\sin \theta =\frac{1}{2}$，其通解为 $\theta =2k\pi +\frac{\pi }{6}$ 或 $\theta =2k\pi +\frac{5\pi }{6}(k\in \mathbf{Z})$。 代入 $\theta =x+\frac{\pi }{6}$ 反解： 由 $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{\pi }{6}$ 得 $x=2k\pi$； 由 $x+\frac{\pi }{6}=2k\pi +\frac{5\pi }{6}$ 得 $x=2k\pi +\frac{2\pi }{3}$。 故解集为 $\left\{x\mid x=2k\pi \text{ 或 }x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 正弦双值：$\sin \theta =\frac{1}{2}$ 在 $[0,2\pi )$ 内有两解 $\frac{\pi }{6}$、$\frac{5\pi }{6}$，通解必须两路并进，勿漏第二象限分支。
• 集合规范表示：题目问”解集”，结果须写成集合形式并标注 $k\in \mathbf{Z}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是 1985 年全国卷理科第 6 题，通解模板的标准考法。1980 年代全国卷的解方程题几乎都长这个样子——先把括号里的整体看成一个角，写出这一族角，再反解 $x$。今天新高考不直接考通解，但”给一个区间问根的个数”（如 1997 年上海卷第 8 题）用的还是这一步。

2. 结论推广：$\sin (\omega x+\varphi )=c(|c|\le 1)$ 的通解为 $x=\frac{1}{\omega }\left(2k\pi +\arcsin c-\varphi \right)$ 或 $x=\frac{1}{\omega }\left(2k\pi +\pi -\arcsin c-\varphi \right)$。

3. 方法推广：解三角方程用整体代换，先求基本角的通解，再反解自变量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1989-上海-03 填-三角方程的解集
• 1987-广东理-09 单-三角方程的实根个数