1985-上海理-16 解-参数方程与极坐标

本题导读

本题考查参数方程与极坐标方程所表示曲线的判定。核心在于消参和极坐标化直角坐标。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） (1)在直角坐标系内，方程 $\{\begin{array}{l}x=3\cot \phi \\ y=2\csc \phi \end{array}$（$\phi$ 是参数）表示什么曲线？画出它的图形.

(2)在极坐标系内，方程 $\frac{2\sin \theta }{\rho }=1$ 表示什么曲线？画出它的图形.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)由 ${\csc }^2\phi -{\cot }^2\phi =1$ 消参；(2)化为 $\rho =2\sin \theta$ 后乘 $\rho$。

✅【答案】

Success

(1) 双曲线 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$

(2) 圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由 $\cot \phi =\frac{x}{3}$，$\csc \phi =\frac{y}{2}$，及恒等式 ${\csc }^2\phi -{\cot }^2\phi =1$，得 $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$。这是以原点为中心、实轴在 $y$ 轴上的双曲线，顶点 $(0,2)$、$(0,-2)$，渐近线 $y=\pm \frac{2}{3}x$。(2)由 $\frac{2\sin \theta }{\rho }=1$ 得 $\rho =2\sin \theta$，两边乘 $\rho$ 并利用 $y=\rho \sin \theta$、${\rho }^2=x^2+y^2$，得 $x^2+y^2=2y$，即 $x^2+(y-1{)}^2=1$。这是圆心 $(0,1)$、半径 1 的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：参数方程与极坐标

核心方法：参数方程消参 + 极坐标化直角坐标

避坑指南：(1) 用 ${\csc }^2\phi -{\cot }^2\phi =1$；(2) 乘 $\rho$ 化 $x^2+(y-1{)}^2=1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程与极坐标的互化

结论推广：${\csc }^2\phi -{\cot }^2\phi =1$ 消参；$\rho =2\sin \theta$ 是圆

方法推广：消参用平方恒等式，极坐标乘 $\rho$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.02 参数方程
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-07 单-极坐标方程与曲线
• 1987-上海-20 单-极坐标方程表示的曲线