1985-上海理-12 单-反三角函数的定义

本题导读

本题考查反三角函数的定义域与值域。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 下列各式中，正确的是 ()

A. $\arcsin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$　B. $\sin \left(\arcsin \frac{\pi }{3}\right)=\frac{\pi }{3}$ C. $\arcsin \left(\sin \frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\pi }{4}$　D. $\sin \left[\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)\right]=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\arcsin$ 定义域 $[-1,1]$、值域 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

反正弦函数定义域为 $[-1,1]$，A 中 $-\frac{\pi }{3}$、B 中 $\frac{\pi }{3}$ 均不在定义域内，故 A、B 错。又 $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，值域内 $\arcsin (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\pi }{4}$，C 正确。$\arccos (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}$，$\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，D 错。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反三角函数的定义

核心方法：逐项核对反三角定义域与值域

避坑指南：$\arcsin$ 定义域 $[-1,1]$，$\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反三角函数定义域值域是易错点

结论推广：$\arcsin x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

方法推广：先看自变量是否在定义域

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-06 单-反余弦恒等式
• 1987-上海-07 填-反三角函数求值