1985-上海理-09 填-同角三角函数关系

本题导读

本题考查同角三角函数关系及符号判断。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(理)） 若 $\tan \alpha =-2$，且 $\sin \alpha <0$，则 $\cos \alpha$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\tan \alpha <0$ 且 $\sin \alpha <0$ 判 $\cos \alpha >0$，再用 ${\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\tan \alpha =-2<0$ 且 $\sin \alpha <0$，知 $\cos \alpha >0$。又 $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$，即 ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$。结合 $\cos \alpha >0$，得 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角函数关系

核心方法：由 $\tan \alpha <0$ 且 $\sin \alpha <0$ 定 $\cos \alpha >0$

避坑指南：用 $1+{\tan }^2\alpha ={\sec }^2\alpha$ 求 ${\cos }^2\alpha$，勿忘正负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：同角关系与象限符号结合

结论推广：由 $\tan$ 与 $\sin$ 可唯一确定 $\cos$ 符号

方法推广：先判符号再求绝对值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-13 单-半角符号与象限
• 1986-广东理-11 单-同角三角函数求值