1985-上海文-14 单-四棱锥与内切圆

本题导读

本题考查四棱锥顶点到各边等距的几何意义。

📌【题干】

Question

（1985年上海卷(文)） 若一个四棱锥的底面是凸四边形，它的顶点到底面各边的距离都相等，则这个棱锥的底面四边形 ()

A. 必为正方形　B. 必有内切圆　C. 必有外接圆　D. 必既有内切圆又有外接圆

🔍【思路分析】

破题导航

顶点射影到底面，各边距离相等则底面有内切圆。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设棱锥顶点为 $P$，底面所在平面为 $\alpha$，$P$ 在 $\alpha$ 上的射影为 $H$。对底面任一边所在直线 $l$，由 $PH\perp \alpha$ 可得 $\mathrm{dist}(P,l{)}^2=P{H}^2+\mathrm{dist}(H,l{)}^2$。题设 $\mathrm{dist}(P,l)$ 对四条边相等，且 $PH$ 为定值，故 $H$ 到四条边所在直线距离相等。因底面是凸四边形，以 $H$ 为圆心、公共距离为半径的圆与四条边同时相切，底面必有内切圆。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四棱锥与内切圆

核心方法：射影到各边距离相等则必有内切圆

避坑指南：只保证有内切圆，不必正方形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱锥顶点到各边等距的几何意义

结论推广：射影到各边等距 $\Rightarrow$ 有内切圆

方法推广：用射影与距离公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)

• 1986-上海理-22 填-正方体与内切球
• 1985-上海理-14 单-棱锥与内切圆