1984-全国卷理-15 解-含参对数方程的讨论

本题导读

本题考查含参对数方程的讨论与增根检验。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(理)） 设 $c,d,x$ 为实数，$c\ne 0$，$x$ 为未知数.讨论方程 ${\log }_{(cx+\frac{d}{x})}x=-1$ 在什么情况下有解，有解时求出它的解.

🔍【思路分析】

破题导航

由对数定义得 $x^2=\frac{1-d}{c}$，结合定义域 $x>0$ 与底数 $\ne 1$ 讨论。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

定义域：$x>0$，底数 $cx+\frac{d}{x}>0$ 且 $\ne 1$。由对数定义原方程等价于 $x=(cx+\frac{d}{x}{)}^{-1}$，整理得 $c{x}^2+d=1$，即 $x^2=\frac{1-d}{c}$。由 $x>0$ 需 $\frac{1-d}{c}>0$。代入得底数 $cx+\frac{d}{x}=\frac{c{x}^2+d}{x}=\frac{1}{x}$，故底数 $\ne 1⟺x\ne 1⟺c+d\ne 1$。分类：当 $c>0$ 且 $d<1$ 且 $c+d\ne 1$ 时，有解 $x=\sqrt{\frac{1-d}{c}}$；当 $c<0$ 且 $d>1$ 且 $c+d\ne 1$ 时，有解同式；其余情况无解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参对数方程的讨论

核心方法：对数定义与增根检验

避坑指南：化为 x²=(1-d)/c，再由 x>0 与底数≠1 排除增根

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参对数方程的讨论

结论推广：底数与真数的限制及增根

方法推广：参数分类与边界检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-36 解-对数方程的求解
• 1997-上海文-07 填-对数方程的求解