1984-全国文-15 解-三角函数的积的形式

本题导读

本题考查三角函数式化成积的形式。核心在于降幂凑出平方差再和差化积。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 把 $1-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha -{\sin }^2\beta -{\cos }^4\alpha$ 化成三角函数的积的形式（要求结果最简）.

🔍【思路分析】

破题导航

$\frac{1}{4}{\sin }^{2}2\alpha ={\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$，与 $-{\cos }^4\alpha$ 合并后平方差。

✅【答案】

Success

$\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )$

✍【详细解析】

Abstract

原式 $=1-{\sin }^2\beta -{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha -{\cos }^4\alpha ={\cos }^2\beta -{\cos }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )={\cos }^2\beta -{\cos }^2\alpha$。因式分解 $=(\cos \beta -\cos \alpha )(\cos \beta +\cos \alpha )$。由和差化积：$\cos \beta -\cos \alpha =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$，$\cos \beta +\cos \alpha =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$。故原式 $=4\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}=\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的积的形式

核心方法：降幂凑平方差再和差化积

避坑指南：原式 $={\cos }^2\beta -{\cos }^2\alpha$，平方差后化积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等变换

结论推广：平方差与和差化积的综合

方法推广：降幂凑形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.03 积和转化与半角公式

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-02 单-和差化积公式
• 1990-全国文-22 解-和差化积与正切倍角