1984-全国文-07 填-圆柱的侧面展开图

本题导读

本题考查圆柱侧面展开图与体积的分类讨论。

📌【题干】

Question

（1984年全国卷(文)） 已知圆柱的侧面展开图是边长为 2 与 4 的矩形，求圆柱的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

矩形一边为高、另一边为底面周长，两种对应情形。

✅【答案】

Success

$\frac{4}{\pi }$ 或 $\frac{8}{\pi }$

✍【详细解析】

Abstract

侧面展开矩形的一边是圆柱的高，另一边是底面圆的周长。情形一：$h=2$，$2\pi r=4$，$r=\frac{2}{\pi }$，$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot \frac{4}{{\pi }^2}\cdot 2=\frac{8}{\pi }$。情形二：$h=4$，$2\pi r=2$，$r=\frac{1}{\pi }$，$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot \frac{1}{{\pi }^2}\cdot 4=\frac{4}{\pi }$。故体积为 $\frac{4}{\pi }$ 或 $\frac{8}{\pi }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆柱的侧面展开图

核心方法：侧面展开矩形的两种对应

避坑指南：边长 2 与 4 谁作高、谁作周长需分类，体积两解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体的侧面展开

结论推广：圆柱侧面展开为矩形

方法推广：分类讨论与体积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-03 单-圆柱的体积与侧面积
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比