2000-广东卷理-09 单-圆柱的侧面展开图

本题导读

本题考查圆柱侧面展开图的性质及圆柱表面积的计算。解题关键是利用“侧面展开图是正方形”这一条件，得出圆柱的底面周长等于圆柱的高，从而将所有面积表达式统一用底面半径 $r$ 表示，最后求比值。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是()

A. $\frac{1+2\pi }{2\pi }$　　　　B. $\frac{1+4\pi }{4\pi }$　　　　C. $\frac{1+2\pi }{\pi }$　　　　D. $\frac{1+4\pi }{2\pi }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆柱的底面半径为 $r$，高为 $h$。
2. 根据“侧面展开图是正方形”，可得长方形的长（底面周长）等于宽（高），即 $2\pi r=h$。
3. 写出侧面积公式：$S_{\text{侧}}=2\pi rh$。代入 $h$ 得 $S_{\text{侧}}=2\pi r(2\pi r)=4{\pi }^2{r}^2$。
4. 写出全面积公式：$S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=2\pi rh+2\pi r^2$。代入 $h$ 得 $S_{\text{全}}=4{\pi }^2{r}^2+2\pi r^2$。
5. 计算比值 $\frac{S_{\text{全}}}{S_{\text{侧}}}$，化简得出结果。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设圆柱底面半径为 $r$，圆柱的高为 $h$。 因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，其一边长为圆柱底面周长 $2\pi r$，另一边长为圆柱的高 $h$。 所以有：$h=2\pi r$。

圆柱的侧面积 $S_{\text{侧}}$ 为： $S_{\text{侧}}=2\pi r\cdot h=2\pi r\cdot 2\pi r=4{\pi }^2{r}^2$

圆柱的底面积为： $S_{\text{底}}=\pi r^2$ 有两个底面，所以底面积之和为 $2\pi r^2$。

圆柱的全面积 $S_{\text{全}}$ 为侧面积与上下底面积之和： $S_{\text{全}}=S_{\text{侧}}+2S_{\text{底}}=4{\pi }^2{r}^2+2\pi r^2=2\pi r^2(2\pi +1)$

所以，这个圆柱的全面积与侧面积的比为： $\frac{S_{\text{全}}}{S_{\text{侧}}}=\frac{2\pi r^2(2\pi +1)}{4{\pi }^2{r}^2}=\frac{2\pi +1}{2\pi }$

正确选项为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆柱的侧面展开图特征（长=底面周长，宽=高）；圆柱全面积 $S=2\pi rh+2\pi r^2$。
2. 核心方法：变量统一法。将 $h$ 统一用 $r$ 表示，求比值时自然消去 $r^2$。
3. 避坑指南：

• 极易将底面周长公式错记为 $\pi r$，导致 $h=\pi r$，从而算出错误比值 $\frac{\pi +2}{\pi }$。
• 在计算全面积时，容易忘记底面有两个，漏加一个 $\pi r^2$，导致结果算成 $\frac{1+4\pi }{4\pi }$ (选项B)。
• 最终化简时，分母 $4{\pi }^2{r}^2$ 与分子 $2\pi r^2$ 约分，剩下的是 $2\pi$ 而不是 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：初中及高中立体几何入门的基础计算题，侧重考查基本几何体的展开与还原能力。
2. 结论推广：若一个圆柱的侧面展开图为长宽比为 $k:1$ 的矩形（设周长对应 $k$，高对应 $1$），即 $2\pi r=kh$，则其全面积与侧面积之比恒为 $\frac{S_{\text{全}}}{S_{\text{侧}}}=1+\frac{k}{2\pi }$。本题中正方形即 $k=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1984-全国文-07 填-圆柱的侧面展开图
• 1986-广东文-28 填-球内切圆柱的表面积比
• 1986-广东理-28 填-球内切圆柱的表面积比