1983-全国理-12 解-等比数列与数列极限

本题导读

本题考查由前 n 项和数列反推通项，并用无穷等比级数求极限。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=b(b\ne 0)$，它的前 $n$ 项的和 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n(n\ge 1)$，并且 $S_1,S_2,S_n,\cdots$ 是一个等比数列，其公比为 $p(p\ne 0,|p|<1)$.

(1) 证明：$a_2,a_3,\cdots ,a_n,\cdots$（即 $\{a_n\}$ 从第二项起）是一个等比数列；

(2) 设 $W_n=a_1{S}_1+a_2{S}_2+a_3{S}_3+\cdots +a_n{S}_n(n\ge 1)$，求 $\underset{n\to \infty }{\lim }{W}_n$（用 $b,p$ 表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 由 $S_n=b{p}^{n-1}$ 得 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 并验证公比；(2) 写出 $a_n{S}_n$ 的通项再用等比求和。

✅【答案】

Success

(1) 已证 $\{a_n{\}}_{n\ge 2}$ 为公比 $p$ 的等比数列 (2) $\underset{n\to \infty }{\lim }{W}_n=\frac{b^2}{1+p}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $S_n$ 为等比数列（公比 $p$）得 $S_n=b{p}^{n-1}$。当 $n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=b{p}^{n-1}-b{p}^{n-2}=b{p}^{n-2}(p-1)$，故 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=p$，即 $\{a_n{\}}_{n\ge 2}$ 是首项 $a_2=b(p-1)$、公比 $p$ 的等比数列。(2) $a_n{S}_n=b{p}^{n-2}(p-1)\cdot b{p}^{n-1}=b^2(p-1)p^{2n-3}$（$n\ge 2$），且 $a_1{S}_1=b^2$。故 ${\lim }_{n\to \infty }{W}_n=b^2\left(1+(p-1){\sum }_{k=1}^{\infty }{p}^{2k-1}\right)=b^2\left(1+(p-1)\frac{p}{1-p^2}\right)=b^2\cdot \frac{1-p}{1-p^2}=\frac{b^2}{1+p}$（利用 $|p|<1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列与数列极限

核心方法：通项与前 n 项和

避坑指南：由 S_n 等比得 a_n 表达式；极限用等比求和公式（|p|<1）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列与极限

结论推广：由前 n 项和等比反推通项

方法推广：无穷等比级数求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I理-04 单-等比数列
• 1997-全国卷文-21 解-等差等比中项求通项