1979-全国理-09 解-等差数列求和最值

本题导读

本题考查数列前 $n$ 项和的最值，先判别通项为等差数列，再由相邻和的差变号定位最大值。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 9. 试问数列 $\lg 100,\lg \left(100\sin \frac{\pi }{4}\right),\lg \left(100{\sin }^2\frac{\pi }{4}\right),\cdots ,\lg \left(100{\sin }^{n-1}\frac{\pi }{4}\right)$ 前多少项的和的值最大？并求这最大值. （$\lg 2=0.301$）

🔍【思路分析】

破题导航

由 $\sin \frac{\pi }{4}=2^{-1/2}$ 得 $a_k=2-0.1505(k-1)$ 为等差数列；比较 $S_{n+1}-S_n=2-0.1505n$ 的符号，$n=13$ 时为正、$n=14$ 时为负，故 $S_{14}$ 最大，算得约 $14.30$。

✅【答案】

Success

前 $14$ 项的和最大，最大值约为 $14.30$

✍【详细解析】

Abstract

记第 $k$ 项为 $a_k$。因为 $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}=2^{-1/2}$， 所以 $a_k=\lg \left(100\cdot 2^{-(k-1)/2}\right)=2-\frac{k-1}{2}\lg 2=2-0.1505(k-1)$。 记前 $n$ 项的和为 $S_n$，则 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}=2-0.1505n$。 当 $n=13$ 时， $S_{14}-S_{13}=2-0.1505\times 13=0.0435>0$， 而当 $n=14$ 时， $S_{15}-S_{14}=2-0.1505\times 14=-0.107<0$。 由于上述差值随 $n$ 增大而减小，故 $S_n$ 在 $n=14$ 时取得最大值。 最大值为 $S_{14}=14\times 2-0.1505(0+1+\cdots +13)=28-0.1505\times \frac{14\times 13}{2}=14.3045\approx 14.30$。 所以前 $14$ 项的和最大，最大值约为 $14.30$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列求和最值

核心方法：先证通项 $a_k=2-0.1505(k-1)$ 为等差数列，比较 $S_{n+1}-S_n$ 符号

避坑指南：相邻和的差由正转负处即为最大项位置

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列求和最值

结论推广：通项成等差时前 $n$ 项和有唯一极大值

方法推广：相邻和差符号判最值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1977-宁夏-09 解-等比数列求和
• 1983-全国理-12 解-等比数列与数列极限