1982-全国文-08 解-诱导公式的求值

本题导读

本题考查诱导公式与特殊角三角函数求值。核心在于把各角化到锐角再求值。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(文)） 求 $\tan 9^{\circ }+\cot 117^{\circ }-\tan 243^{\circ }-\cot 351^{\circ }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

$\cot 117^{\circ }=-\tan 27^{\circ }$，$\tan 243^{\circ }=\tan 63^{\circ }$，$\cot 351^{\circ }=-\cot 9^{\circ }$。

✅【答案】

Success

$4$

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式：$\cot 117^{\circ }=\cot (180^{\circ }-63^{\circ })=-\cot 63^{\circ }=-\tan 27^{\circ }$；$\tan 243^{\circ }=\tan (180^{\circ }+63^{\circ })=\tan 63^{\circ }$；$\cot 351^{\circ }=\cot (360^{\circ }-9^{\circ })=-\cot 9^{\circ }$。 故原式 $=\tan 9^{\circ }+\cot 9^{\circ }-\tan 27^{\circ }-\tan 63^{\circ }$。 而 $\tan 9^{\circ }+\cot 9^{\circ }=\frac{\sin 9^{\circ }}{\cos 9^{\circ }}+\frac{\cos 9^{\circ }}{\sin 9^{\circ }}=\frac{{\sin }^2{9}^{\circ }+{\cos }^2{9}^{\circ }}{\sin 9^{\circ }\cos 9^{\circ }}=\frac{1}{\sin 9^{\circ }\cos 9^{\circ }}=\frac{2}{\sin 18^{\circ }}$，$\tan 27^{\circ }+\tan 63^{\circ }=\frac{\sin 90^{\circ }}{\cos 27^{\circ }\cos 63^{\circ }}=\frac{1}{\cos 27^{\circ }\sin 27^{\circ }}=\frac{2}{\sin 54^{\circ }}=\frac{2}{\cos 36^{\circ }}$。 由 $\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$、$\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，得 $\frac{2}{\sin 18^{\circ }}=2(\sqrt{5}+1)$、$\frac{2}{\cos 36^{\circ }}=2(\sqrt{5}-1)$。故原式 $=2(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{5}-1)=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式的求值

核心方法：诱导公式化简求值

避坑指南：$\cot 117^{\circ }=\cot (180^{\circ }-63^{\circ })$，$\tan 243^{\circ }=\tan (180^{\circ }+63^{\circ })$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式

结论推广：诱导公式与特殊角的三角函数值

方法推广：诱导公式化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1985-广东理-05 填-正切函数的诱导公式
• 1986-广东文-18 单-诱导公式求余切