1986-广东文-18 单-诱导公式求余切

本题导读

本题考查诱导公式与特殊角的三角函数值。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） $\cot \frac{9}{8}\pi$ 的值是 ()

A. $\sqrt{2}-1$　　　　B. $\sqrt{3}-2$　　　　C. $-1-\sqrt{2}$　　　　D. $\sqrt{2}+1$　　　　E. $3-\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

$\cot (\pi +\theta )=\cot \theta$，化为 $\cot \frac{\pi }{8}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

$\cot \frac{9}{8}\pi =\cot (\pi +\frac{\pi }{8})=\cot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{8}}$。$\tan \frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}-1$，故 $\cot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式求余切

核心方法：$\cot \frac{9\pi }{8}=\cot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{8}}$。

避坑指南：$\tan \frac{\pi }{8}=\sqrt{2}-1$，故值为 $\sqrt{2}+1$，选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1987 广东文第 1 题同考诱导公式。

结论推广：$\cot (\pi +\theta )=\cot \theta$，$\cot \frac{\pi }{8}=\frac{1}{\tan \frac{\pi }{8}}$。

方法推广：$\tan \frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{\sin \frac{\pi }{4}}=\sqrt{2}-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-01 单-诱导公式求值
• 1989-广东文-06 单-诱导公式求值