1982-全国理-01 填-函数定义域的填写

本题导读

本题考查基本初等函数定义域的求法，逐项判断被开方数、真数与反三角自变量的范围。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） 填表：

序号	函数	使函数有意义的 $x$ 的实数范围
1	$y=\sqrt{-x^2}$
2	$y=\sqrt{(-x{)}^2}$
3	$y=\arcsin (\sin x)$
4	$y=\sin (\arcsin x)$
5	$y=10^{\lg x}$
6	$y=\lg 10^x$

🔍【思路分析】

破题导航

逐项分析：根式看被开方数非负，对数看真数大于 0，反三角看自变量落入定义域。

✅【答案】

Success

$\{0\}$，$\mathbf{R}$，$\mathbf{R}$，$[-1,1]$，$(0,+\infty )$，$\mathbf{R}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $y=\sqrt{-x^2}$：要求 $-x^2\ge 0$，即 $x=0$，定义域为 $\{0\}$。 (2) $y=\sqrt{(-x{)}^2}=\sqrt{x^2}=|x|$：对一切实数有意义，定义域为 $\mathbf{R}$。 (3) $y=\arcsin (\sin x)$：外层 $\arcsin$ 要求自变量 $\sin x\in [-1,1]$，本就恒成立，故定义域为 $\mathbf{R}$。 (4) $y=\sin (\arcsin x)$：内层 $\arcsin x$ 要求 $x\in [-1,1]$，定义域为 $[-1,1]$。 (5) $y=10^{\lg x}$：真数 $x>0$，定义域为 $(0,+\infty )$。 (6) $y=\lg 10^x=x$：对一切实数有意义，定义域为 $\mathbf{R}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数定义域的填写

核心方法：根式/对数/反三角各自的定义域约束

避坑指南：$\sqrt{-x^2}$ 要求 $-x^2\ge 0$ 仅 $x=0$；$\arcsin$ 要求自变量 $\in [-1,1]$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本初等函数定义域的求法

结论推广：根式、对数、反三角各有定义域约束

方法推广：逐条件取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-06 填-根式分式函数的定义域
• 1985-上海文-13 单-对数函数的定义域