1981-全国文-05 解-正弦定理的证明

本题导读

本题考查正弦定理的叙述与证明。核心在于面积公式的三种表达互相联系。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(文)） 写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

用 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$ 推出三边与对角正弦之比相等。

✅【答案】

Success

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

正弦定理：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。 证明（钝角情形）：设 $△ABC$ 中 $\angle A$ 为钝角，$△ABC$ 的面积为 $S$。作 $BE\perp AC$ 的延长线于 $E$，则 $\angle BAE=180^{\circ }-A$，$BE=c\sin (180^{\circ }-A)=c\sin A$，故 $S=\frac{1}{2}AC\cdot BE=\frac{1}{2}bc\sin A$。作 $AD\perp BC$ 于 $D$，则 $AD=c\sin B$，故 $S=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}ac\sin B$。同理作 $CF\perp AB$ 的延长线于 $F$，$CF=b\sin A$（或 $a\sin C$），得 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$。于是 $\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$，同除以 $\frac{1}{2}abc$ 得 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$，即 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理的证明

核心方法：面积法证明正弦定理

避坑指南：用 $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B$ 推出 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理

结论推广：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

方法推广：面积法证明

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1985-上海文-20 解-复数的三角形式与正弦定理
• 1998-全国卷文-21 解-正弦定理与和差化积