1981-全国理-06 解-数学归纳法证三角恒等式

本题导读

本题考查数学归纳法证明三角恒等式，递推步利用二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 约分。

📌【题干】

Question

（1981年全国卷(理)） 6. 用数学归纳法证明等式：$\cos \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2^2}\cdot \cos \frac{x}{2^3}\cdots \cos \frac{x}{2^n}=\frac{\sin x}{2^n\sin \frac{x}{2^n}}$，对一切自然数 $n$ 都成立.

🔍【思路分析】

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奠基验证 $n=1$；假设 $n=k$ 成立，代入 $n=k+1$ 的左端，将分母中的 $\sin \frac{x}{2^k}$ 用二倍角公式展开与分子 $\cos \frac{x}{2^{k+1}}$ 约分。

✅【答案】

Success

等式对一切自然数 $n$ 成立（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

当 $n=1$ 时，左端 $=\cos \frac{x}{2}$，右端 $=\frac{\sin x}{2\sin \frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\cos \frac{x}{2}$，等式成立。 假设当 $n=k$（$k\ge 1$）时等式成立，即 $\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cdots \cos \frac{x}{2^k}=\frac{\sin x}{2^k\sin \frac{x}{2^k}}$。 当 $n=k+1$ 时，左端 $=\frac{\sin x}{2^k\sin \frac{x}{2^k}}\cdot \cos \frac{x}{2^{k+1}}=\frac{\sin x\cdot \cos \frac{x}{2^{k+1}}}{2^k\sin \frac{x}{2^k}}$。 利用二倍角公式 $\sin \frac{x}{2^k}=2\sin \frac{x}{2^{k+1}}\cos \frac{x}{2^{k+1}}$，分母化为 $2^k\cdot 2\sin \frac{x}{2^{k+1}}\cos \frac{x}{2^{k+1}}$，与分子的 $\cos \frac{x}{2^{k+1}}$ 约去，得 $\frac{\sin x}{2^{k+1}\sin \frac{x}{2^{k+1}}}$， 恰为 $n=k+1$ 时的右端。故当 $n=k$ 成立可推出 $n=k+1$ 成立。 由数学归纳法，等式对一切自然数 $n$ 都成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数学归纳法证三角恒等式

核心方法：数学归纳法三步

避坑指南：奠基、假设、递推；递推步用 $\sin \frac{x}{2^k}=2\sin \frac{x}{2^{k+1}}\cos \frac{x}{2^{k+1}}$ 约分

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角恒等式与无穷乘积

结论推广：该等式是欧拉正弦无穷乘积的离散形式

方法推广：数学归纳法的规范书写

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 26.02 数学归纳法

类题演练 (Links)

• 1985-全国文-11 解-数学归纳法证明数列公式
• 1985-上海理-21 解-数学归纳法证不等式