1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明

本题导读

本题考查用解析法证明直径所对的圆周角是直角。核心在于斜率之积为 $-1$。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(文)） 用解析法证明：直径所对的圆周角是直角

🔍【思路分析】

破题导航

设圆 $x^2+y^2=r^2$，直径端点 $A(-r,0)$、$B(r,0)$，圆周角顶点 $C(u,v)$，证 $CA\perp CB$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $O$、半径为 $r$，取 $O$ 为坐标原点，直径所在直线为 $x$ 轴，直径端点为 $A(-r,0)$、$B(r,0)$，圆周角顶点为 $C(u,v)$。因 $C$ 在圆上，$u^2+v^2=r^2$。于是 $\overrightarrow{CA}=(-r-u,-v)$，$\overrightarrow{CB}=(r-u,-v)$，故 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=(-r-u)(r-u)+v^2=u^2+v^2-r^2=0$。因此 $CA\perp CB$，即 $\angle ACB=90^{\circ }$。所以直径所对的圆周角是直角。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直径所对圆周角的证明

核心方法：斜率乘积为 $-1$

避坑指南：设圆 $x^2+y^2=r^2$，圆周角顶点 $C(u,v)$，证 $k_{CA}\cdot k_{CB}=-1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直径所对的圆周角

结论推广：斜率之积为 $-1$ 判定垂直

方法推广：解析法证垂直

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-广东卷理-15 填-圆周角定理与直径性质
• 2007-新课标Ⅰ文-22 解-四点共圆与圆周角定理