1977-山西-03 解-梯形中位线

本题导读

本题考查梯形中位线定理。核心在于延长 $DM$ 构造全等三角形，转化为三角形中位线。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） 试证梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.已知：如图，梯形 $ABCD$，$AD\parallel BC$，$M$、$N$ 分别为 $AB$、$DC$ 之中点.求证：(1)$MN\parallel AD$，$MN\parallel BC$；(2)$MN=\frac{1}{2}(AD+BC)$.

🔍【思路分析】

破题导航

延长 $DM$ 交 $BC$ 延长线于 $E$，证 $△EBM\cong △DAM$，得 $MN$ 为 $△DEC$ 中位线。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)连接 $DM$ 并延长交 $BC$ 的延长线于 $E$。因为 $M$、$N$ 为 $AB$、$DC$ 的中点，所以 $AM=BM$；又 $\angle EMB=\angle AMD$（对顶角相等）、$\angle MBE=\angle MAD$（内错角相等），所以 $△EBM\cong △DAM$（角边角）。故 $AD=BE$、$EM=DM$。又 $EM=DM$、$DN=NC$，所以 $MN$ 为 $△DEC$ 的中位线，故 $MN\parallel BC\parallel AD$。 (2)由 $MN$ 为 $△DEC$ 的中位线，得 $MN=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}(EB+BC)=\frac{1}{2}(AD+BC)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：梯形中位线

核心方法：全等与中位线

避坑指南：延长 $DM$ 构造全等三角形，得 $MN$ 为中位线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：梯形中位线

结论推广：$MN\parallel$ 两底且 $MN=\frac{1}{2}(AD+BC)$

方法推广：构造全等三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1980-全国文-03 解-直径所对圆周角的证明
• 2010-广东卷文-14 填-中位线与勾股