1979-全国文-05 解-解三角形与余切

本题导读

本题考查解三角形在测量中的应用。核心在于用点到直线的距离建立不等式。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(文)） 外国船只除特许外不得进入离我海岸线 $D$ 里以内的区域设 $A$ 及 $B$ 是我们的观测站，$A$ 及 $B$ 间的距离为 $S$ 里，海岸线是过 $A$、$B$ 的直线，一外国船在 $P$ 点，在 $A$ 站测得 $\angle BAP=\alpha$，同时在 $B$ 站测得 $\angle ABP=\beta$则 $\alpha$ 及 $\beta$ 满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？

🔍【思路分析】

破题导航

设船到海岸线距离为 $d$，由面积法得 $d=\frac{S\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$，再由 $d\le D$ 反解。

✅【答案】

Success

$\cot \alpha +\cot \beta \ge \frac{S}{D}$

✍【详细解析】

Abstract

设船 $P$ 到海岸线 $AB$ 的距离为 $d$。三角形 $ABP$ 的面积一方面为 $\frac{1}{2}Sd$，另一方面由正弦定理为 $\frac{1}{2}\cdot AP\cdot BP\cdot \sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}\cdot \frac{S\sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}\cdot \frac{S\sin \alpha }{\sin (\alpha +\beta )}\cdot \sin (\alpha +\beta )$，故 $d=\frac{S\sin \alpha \sin \beta }{\sin (\alpha +\beta )}$。又 $\cot \alpha +\cot \beta =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }+\frac{\cos \beta }{\sin \beta }=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\sin \alpha \sin \beta }=\frac{S}{d}$。船只进入禁入区域的条件是 $d\le D$，即 $\frac{S}{d}\ge \frac{S}{D}$，所以 $\cot \alpha +\cot \beta \ge \frac{S}{D}$ 时，应向该船发出警告。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与余切

核心方法：面积法与余切

避坑指南：点到海岸线距离 $d$，由 $d\le D$ 反解不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形面积双表示

结论推广：面积法 $S=\frac{1}{2}Sd$ 与正弦定理表示互通

方法推广：点到直线距离的三角表示

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-29 填-差角的余切
• 2004-全国卷II文-18 解-三角和差角与解三角形