1978-全国卷-05 解-解三角形与三角求值

本题导读

本题考查三角形内角成等差数列时的边角计算，先利用 $A+C=120^{\circ }$ 与正切条件求出三内角，再由高线条件求边长。

📌【题干】

Question

（1978年全国卷） 5. 已知 $△ABC$ 的三个内角的大小成等差数列，$\tan A\tan C=2+\sqrt{3}$，求角 $A,B,C$ 的大小. 又已知顶点 $C$ 的对边 $c$ 上的高等于 $4\sqrt{3}$，求三角形各边 $a,b,c$ 的长.（提示：必要时可验证 $(1+\sqrt{3}{)}^2=4+2\sqrt{3}$）

🔍【思路分析】

破题导航

由内角成等差数列得 $B=60^{\circ }$，$A+C=120^{\circ }$。设 $A=60^{\circ }-\theta$，$C=60^{\circ }+\theta$，代入正切条件得 $\tan A\tan C=\frac{3-{\tan }^2\theta }{1-3{\tan }^2\theta }=2+\sqrt{3}$，解得 $\theta =15^{\circ }$，故三内角为 $45^{\circ },60^{\circ },75^{\circ }$。再由高线求边。

✅【答案】

Success

$A=45^{\circ },B=60^{\circ },C=75^{\circ }$；$a=8,b=4\sqrt{6},c=4\sqrt{3}+4$（若约定 $A<C$；否则 $A,C$ 与 $a,c$ 同时互换）

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A,B,C$ 成等差数列，所以 $2B=A+C$。又 $A+B+C=180^{\circ }$，得 $B=60^{\circ }$，$A+C=120^{\circ }$。 设 $A=60^{\circ }-\theta$，$C=60^{\circ }+\theta$，则 $\tan A\tan C=\frac{\tan 60^{\circ }-\tan \theta }{1+\tan 60^{\circ }\tan \theta }\cdot \frac{\tan 60^{\circ }+\tan \theta }{1-\tan 60^{\circ }\tan \theta }=\frac{3-{\tan }^2\theta }{1-3{\tan }^2\theta }=2+\sqrt{3}$。 解得 ${\tan }^2\theta =\frac{2+\sqrt{3}-3}{3(2+\sqrt{3})-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{5+3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1)(5-3\sqrt{3})}{(5+3\sqrt{3})(5-3\sqrt{3})}=\frac{8-8\sqrt{3}}{-2}=7-4\sqrt{3}=(2-\sqrt{3}{)}^2$，故 $\tan \theta =2-\sqrt{3}=\tan 15^{\circ }$，$\theta =15^{\circ }$。 更直接地，由 $\tan A\tan C=2+\sqrt{3}$ 且 $A+C=120^{\circ }$，可验证 $A=45^{\circ }$，$C=75^{\circ }$ 满足条件： $\tan 45^{\circ }\tan 75^{\circ }=1\cdot (2+\sqrt{3})=2+\sqrt{3}$。所以 $A=45^{\circ }$，$B=60^{\circ }$，$C=75^{\circ }$。 设 $c$ 边上的高为 $h_c=4\sqrt{3}$。由 $b=\frac{h_c}{\sin A}=\frac{4\sqrt{3}}{\sin 45^{\circ }}=4\sqrt{6}$，$a=\frac{h_c}{\sin B}=\frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}=8$。 再由正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。$2R=\frac{b}{\sin 60^{\circ }}=\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}/2}=8\sqrt{2}$，所以 $c=2R\sin 75^{\circ }=8\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=4\sqrt{3}+4$。 因此 $a=8$，$b=4\sqrt{6}$，$c=4\sqrt{3}+4$。若未约定 $A<C$，则 $A$ 与 $C$、$a$ 与 $c$ 可同时互换。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形与三角求值

核心方法：由内角成等差数列得 $B=60^{\circ }$，再用 $\tan A\tan C=2+\sqrt{3}$ 与 $A+C=120^{\circ }$ 求角

避坑指南：若未约定 $A<C$，则 $A$、$C$ 可互换，对应 $a$、$c$ 也互换

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形

结论推广：内角成等差数列时中间角为 $60^{\circ }$

方法推广：正弦定理与三角恒等变换

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 1952-全国-23 解-三边定三角形的各角
• 1957-全国-09 解-三次方程根为正弦求角
• 1979-全国文-05 解-解三角形与余切