1977-陕西-05 解-和角正切求值

本题导读

本题考查和角正切求值。核心在于由正弦求余弦（锐角为正），再用 $\tan (A-B)$ 公式。

📌【题干】

Question

（1977年陕西卷） 设 $A$，$B$ 为锐角，且 $\sin A=\frac{3}{5}$，$\sin B=\frac{5}{13}$，求 $\tan (A-B)$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\cos A=\frac{4}{5}$，$\cos B=\frac{12}{13}$；$\tan (A-B)=\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}$。

✅【答案】

Success

$\frac{16}{63}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $A$，$B$ 为锐角，所以 $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$，$\cos B=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}$。于是 $\tan (A-B)=\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}-\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}}{\frac{4}{5}\cdot \frac{12}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{13}}=\frac{\frac{16}{65}}{\frac{63}{65}}=\frac{16}{63}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和角正切求值

核心方法：由正弦求余弦（锐角为正），再用和角正切公式

避坑指南：$\cos A=\frac{4}{5}$、$\cos B=\frac{12}{13}$，$\tan (A-B)=\frac{\sin A\cos B-\cos A\sin B}{\cos A\cos B+\sin A\sin B}=\frac{16}{63}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于和角正切公式，考查由正弦求余弦。

结论推广：tan(A-B) 的和角公式可直接代入 sin、cos 求得。

方法推广：锐角保证 cos 取正值，避免正负号歧义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.05 正切恒等式

类题演练 (Links)

• 1977-北京文-04 解-和角公式求值
• 1977-贵州-03 解-正切求正弦