1977-重庆-13 解-微分方程通解

本题导读

本题考查微分方程通解。核心在于(1)除以 $x^3$ 凑微分；(2)特征根二重加正弦特解。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 求下列方程的通解：(1)$xdy-2ydx=3x^{2}dx$；(2)$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=\cos x$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)两边除以 $x^3$，左端 $=d\left(\frac{y}{x^2}\right)$，积分即得；(2)特征根 $\lambda =1$（二重），齐次通解 $(c_1+c_{2}x)e^x$，特解试 $A\cos x+B\sin x$。

✅【答案】

Success

(1)$y=3x^2\ln |x|+c{x}^2$(2)$y=c_1{e}^x+c_{2}x{e}^x-\frac{1}{2}\sin x$（$c$，$c_1$，$c_2$ 为任意常数）

✍【详细解析】

Abstract

(1)【法一】原方程两边同除以 $x^3$，得 $\frac{1}{x^2}dy-\frac{2y}{x^3}dx=\frac{3}{x}dx$。方程左端 $\frac{1}{x^2}dy-\frac{2y}{x^3}dx=d\left(\frac{y}{x^2}\right)$，而右端 $\frac{3}{x}dx=d(3\ln |x|)$。因此方程可化为 $d\left(\frac{y}{x^2}\right)=d(3\ln |x|)$。所以 $\frac{y}{x^2}=3\ln |x|+c$，即 $y=3x^2\ln |x|+c{x}^2$。【法二】原方程可写成 $\frac{dy}{dx}=\frac{2y+3x^2}{x}$。令 $\frac{y}{x^2}=t$，即 $y=t{x}^2$，代入得 $2xt+x^2\frac{dt}{dx}=2xt+3x$，所以 $\frac{dt}{dx}=\frac{3}{x}$，$t=3\ln |x|+c$。代回得 $y=3x^2\ln |x|+c{x}^2$，其中 $c$ 为任意常数。(2)这是常系数线性微分方程，相应齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=0$ 的特征方程为 ${\lambda }^2-2\lambda +1=0$，特征根 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1$，因此齐次方程的通解为 $y=c_1{e}^x+c_{2}x{e}^x$。再求特解：设 $y=A\cos x+B\sin x$，代入原方程化简得 $-2B\cos x+2A\sin x=\cos x$，于是 $A=0$，$B=-\frac{1}{2}$，特解为 $y=-\frac{1}{2}\sin x$。故原方程的通解为 $y=c_1{e}^x+c_{2}x{e}^x-\frac{1}{2}\sin x$（$c_1$，$c_2$ 为任意常数）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：微分方程通解

核心方法：凑微分/特征方程

避坑指南：(1)除以 $x^3$ 凑 $d\left(\frac{y}{x^2}\right)$；(2)特征根 $\lambda =1$ 二重

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：微分方程

结论推广：(1)$y=3x^2\ln |x|+c{x}^2$(2)$y=c_1{e}^x+c_{2}x{e}^x-\frac{1}{2}\sin x$

方法推广：齐次通解+特解=非齐次通解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 1977-湖北-08 解-二阶微分方程初值
• 1977-河南-12 解-对数求导与定积分