1977-湖北-08 解-二阶微分方程初值

本题导读

本题考查二阶线性齐次微分方程（参考题，大学内容）。核心在于特征方程 ${\lambda }^2+3\lambda -4=0$ 得根 $-4$ 与 $1$，通解代入初值条件定常数。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） 解方程：$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-4y=0$，其中 $y{|}_{x=0}=0$，$y^{\prime }{|}_{x=0}=-10$.

🔍【思路分析】

破题导航

特征方程 ${\lambda }^2+3\lambda -4=0$，根 $-4$ 与 $1$；通解 $y=C_1{e}^{-4x}+C_2{e}^x$；代入 $y(0)=0$、$y^{\prime }(0)=-10$ 得 $C_1=2$，$C_2=-2$。

✅【答案】

Success

$y=2e^{-4x}-2e^x$

✍【详细解析】

Abstract

$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-4y=0$ 是线性齐次方程，它的特征方程 ${\lambda }^2+3\lambda -4=0$ 的根是 $-4$ 和 $1$。 因此方程的通解是 $y=C_1{e}^{-4x}+C_2{e}^x$（$C_1$，$C_2$ 是任意常数）。 代入初值问题，$y{|}_{x=0}=0$ 和 $y^{\prime }{|}_{x=0}=-10$，得方程组：$C_1+C_2=0$，$-4C_1+C_2=-10$。 求得 $C_1=2$，$C_2=-2$。故得初值问题的解是 $y=2e^{-4x}-2e^x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶微分方程初值

核心方法：特征方程法

避坑指南：${\lambda }^2+3\lambda -4=0$ 得 $\lambda =-4,1$；代入初值定 $C_1=2$，$C_2=-2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：微分方程

结论推广：$y=2e^{-4x}-2e^x$

方法推广：特征根+初值定常数

🔗【关联脉络】

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• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-14 解-微分方程