1977-重庆-11 解-不定积分

本题导读

本题考查不定积分。核心在于第一项直接公式、第二项三角代换后代回化简。

📌【题干】

Question

（1977年重庆卷） 计算 $\int \left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\right)dx$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+c_1$；第二项令 $x=2\sin t$，得 $2\arcsin \frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}$。

✅【答案】

Success

$\arcsin x-2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+c$

✍【详细解析】

Abstract

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+c_1$。在 $\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$ 中，令 $x=2\sin t$，则 $\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=\int \frac{4{\sin }^{2}t}{2\cos t}\cdot 2\cos tdt=\int 4{\sin }^{2}tdt=\int 2(1+\cos 2t)dt=2t-\sin 2t+c_2$。代回原变量 $t=\arcsin \frac{x}{2}$，得 $\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx=2\arcsin \frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+c_2$。所以原式 $=\arcsin x+c_1-\left(2\arcsin \frac{x}{2}-\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+c_2\right)=\arcsin x-2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+c$，其中 $c=c_1-c_2$ 是任意常数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：不定积分

核心方法：拆项+三角代换

避坑指南：$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ 直接；第二项令 $x=2\sin t$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：积分

结论推广：$\arcsin x-2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+c$

方法推广：三角代换代回要化简

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理 类题演练 (Links)

• 1977-湖南-09 解-定积分两式

• 1977-河南-12 解-对数求导与定积分