1977-贵州-06 解-等距点轨迹

本题导读

本题考查轨迹方程。核心在于到两定点等距即垂直平分线，平方展开二次项相消。

📌【题干】

Question

（1977年贵州卷） 求到点 $A(1,2)$ 和点 $B(4,1)$ 等距离的点的轨迹方程.

🔍【思路分析】

破题导航

$|PA|=|PB|$ 平方展开得 $3x-y-6=0$。

✅【答案】

Success

$3x-y-6=0$（即 $y=3x-6$）

✍【详细解析】

Abstract

设 $P(x,y)$ 是到 $A$，$B$ 等距离的点，则 $|PA|=|PB|$。由两点间的距离公式得 $\sqrt{(x-1{)}^2+(y-2{)}^2}=\sqrt{(x-4{)}^2+(y-1{)}^2}$。两边平方，得 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-4{)}^2+(y-1{)}^2$。整理化简后得 $P(x,y)$ 的轨迹方程为 $3x-y-6=0$，或者写成 $y=3x-6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等距点轨迹

核心方法：距离相等平方展开

避坑指南：二次项相消得直线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：轨迹方程

结论推广：$3x-y-6=0$

方法推广：垂直平分线轨迹

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 1977-广西百色文-09 解-垂直平分线轨迹
• 1977-湖北-03 解-垂直直线与点线距离