1977-福建文-04 解-抛物线与圆切线

本题导读

本题考查抛物线与圆的交点及切线。核心在于联立解出第一象限交点，再对抛物线求导定切线斜率。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(文)） 求抛物线 $y^2=9x$ 和圆 $x^2+y^2=36$ 在第一象限的交点处的切线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

代入消 $y$ 得 $x^2+9x=36$，交点 $(3,3\sqrt{3})$；对 $y^2=9x$ 两边求导得 $y^{\prime }=\frac{9}{2y}$，代点算斜率，点斜式写切线。

✅【答案】

Success

$3x-2\sqrt{3}y+9=0$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y^2=9x$，代入圆的方程得 $x^2+9x=36$，即 $(x+12)(x-3)=0$。交点在第一象限，故 $x=3$，并且 $y^2=27$，所以交点为 $(3,3\sqrt{3})$。对抛物线方程两边关于 $x$ 求导，得 $2y{y}^{\prime }=9$，所以在该点处切线斜率为 $y^{\prime }=\frac{9}{2y}=\frac{9}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此切线方程为 $y-3\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}(x-3)$，即 $3x-2\sqrt{3}y+9=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与圆切线

核心方法：联立求交点+求导

避坑指南：$x^2+9x=36$ 得交点 $(3,3\sqrt{3})$，$2y{y}^{\prime }=9$ 定斜率

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线

结论推广：$3x-2\sqrt{3}y+9=0$

方法推广：先交点后斜率

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2004-重庆文-15 填-导数求切线方程
• 2007-江西文-07 单-直线与抛物线交点三角形面积