1980-全国理-09 解-抛物线与圆的切线垂直

本题导读

本题考查抛物线与动圆在交点处切线互相垂直的条件，关键是半径与抛物线切线平行。

📌【题干】

Question

（1980年全国卷(理)） 9. 抛物线的方程是 $y^2=2x$，有一个半径为 $1$ 的圆，圆心在 $x$ 轴上运动. 问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直.（注：设 $P(x_0,y_0)$ 是抛物线 $y^2=2px$ 上一点，则抛物线在 $P$ 点处的切线斜率是 $\frac{p}{y_0}$）

🔍【思路分析】

破题导航

设圆心 $C(k,0)$，圆 $(x-k{)}^2+y^2=1$；交点 $P(x_0,y_0)$。两切线垂直 $\iff$ 半径 $CP$ 与抛物线切线平行，得 $y_0^2=x_0-k$；结合 $y_0^2=2x_0$ 得 $k=-x_0$，代入圆方程解 $x_0$。

✅【答案】

Success

圆心为 $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{4},0\right)$（及其关于 $x$ 轴对称的另一位置）

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $C=(k,0)$，则圆的方程为 $(x-k{)}^2+y^2=1$。设圆与抛物线的一个交点为 $P=(x_0,y_0)$。在 $P$ 点，圆的半径 $CP$ 与圆的切线垂直；要使圆的切线与抛物线的切线垂直，充要条件是半径 $CP$ 与抛物线在 $P$ 点的切线平行。 若 $y_0=0$，则 $P=(0,0)$，此时圆心在 $x$ 轴上且 $CP$ 平行于 $x$ 轴，圆在 $P$ 处的切线与抛物线在顶点处的切线均为 $y$ 轴，不可能互相垂直，故以下 $y_0\ne 0$。抛物线 $y^2=2x$ 在 $P$ 点的切线斜率为 $\frac{1}{y_0}$，可取方向向量 $(y_0,1)$；圆在 $P$ 点的切线可取方向向量 $(-y_0,x_0-k)$。两切线垂直当且仅当 $(-y_0,x_0-k)\cdot (y_0,1)=0$，即 $y_0^2=x_0-k$。又因 $P$ 在抛物线上，$y_0^2=2x_0$，所以 $k=-x_0$。 将 $k=-x_0$ 代入圆的方程，得 $(2x_0{)}^2+2x_0=1$，即 $4x_0^2+2x_0-1=0$。由于抛物线上的点满足 $x_0\ge 0$，故 $x_0=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，从而 $k=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$。所以圆心为 $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{4},0\right)$，圆的方程为 ${\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)}^2+y^2=1$。关于 $x$ 轴对称的另一个交点同样满足垂直条件。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线与圆的切线垂直

核心方法：相关点法与切线平行

避坑指南：两切线垂直 $\iff$ 半径与抛物线切线平行，得 $y_0^2=x_0-k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线与圆的相切

结论推广：切线垂直条件的几何转化

方法推广：相关点法与导数几何意义

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 1977-福建文-04 解-抛物线与圆切线
• 1977-青海-09 解-抛物线焦点垂线