1977-福建文-02 解-综合小题六连

本题导读

本题考查六道小题的综合求解。核心在于真数正、分母非零取交集，根式换元，以及有理化乘共轭。

📌【题干】

Question

（1977年福建卷(文)） (1)求函数 $y=\frac{\lg (2-x)}{\sqrt{x-1}}$ 的定义域.

(2)证明：$(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2+\sin 2\alpha =1$.

(3)解方程：$2\sqrt{x-3}+6=x$.

(4)解不等式：$x^2-x-6<0$.

(5)把分母有理化：$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}$.

(6)某中学革命师生自己动手油漆一个直径为 $1.2$ 米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆 $150$ 克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$2-x>0$ 且 $x-1>0$ 取交集；(2)展开合并同角项；(3)令 $t=\sqrt{x-3}$ 换元；(4)因式分解判两根之间；(5)分子分母同乘 $(\sqrt{5}+\sqrt{2})$；(6)$S=4\pi r^2$ 再乘单价。

✅【答案】

Success

(1)$(1,2)$(2)证明见解析(3)$x=12$(4)$(-2,3)$(5)$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$(6)$679$ 克

✍【详细解析】

Abstract

(1)由对数的真数必须为正，得 $2-x>0$，即 $x<2$；又分母中的根式必须有意义且不能为零，得 $x-1>0$，即 $x>1$。两条件取交集，定义域为 $(1,2)$。 (2)$(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2+\sin 2\alpha ={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha ={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得证。 (3)由根式有意义，得 $x\ge 3$。令 $t=\sqrt{x-3}$，则 $t\ge 0$ 且 $x=t^2+3$。代入原方程得 $2t+6=t^2+3$，即 $t^2-2t-3=0$，$(t-3)(t+1)=0$。因为 $t\ge 0$，只能取 $t=3$，从而 $x=t^2+3=12$。代回原方程检验成立，故解为 $x=12$。 (4)$x^2-x-6=(x-3)(x+2)$，不等式化为 $(x-3)(x+2)<0$，两根为 $-2$ 和 $3$，二次项系数为正，故解集为 $(-2,3)$。 (5)因为 $\sqrt{5}-\sqrt{2}>0$，所以 $\sqrt{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2}{)}^2}{5-2}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{6}}{3}$。 (6)地球仪的半径为 $r=\frac{1.2}{2}=0.6$ 米，表面积为 $S=4\pi r^2=4\pi \times 0.6^2=1.44\pi$ 平方米。所需油漆质量为 $150\times 1.44\pi =216\pi \approx 678.6$ 克。按题意保留整数，得共需油漆 $679$ 克。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：综合小题六连

核心方法：条件分步核查

避坑指南：真数正、分母非零；根式换元；有理化乘共轭

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：六连

结论推广：(1)$(1,2)$；(3)$x=12$；(6)$679$ 克

方法推广：条件取交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-上海文-03 解-分式化简与不等式方程
• 1977-安徽理-01 解-综合小题七连