1977-湖北-04 解-对数方程组

本题导读

本题考查对数方程组。核心在于 ${\log }_{4}y=\frac{1}{2}{\log }_{2}y$ 统一底数得 $x=\sqrt{y}$，代入第二个方程解二次，最后检验。

📌【题干】

Question

（1977年湖北卷） 解方程组：${\log }_{2}x-{\log }_{4}y=0$，$y^2-13x^2+36=0$

🔍【思路分析】

破题导航

${\log }_{4}y=\frac{1}{2}{\log }_{2}y$，故 ${\log }_{2}x=\frac{1}{2}{\log }_{2}y$ 即 $x=\sqrt{y}$；代入得 $y^2-13y+36=0$，$y=9$ 或 $4$，$x=3$ 或 $2$，检验通过。

✅【答案】

Success

$x_1=3$，$y_1=9$；$x_2=2$，$y_2=4$

✍【详细解析】

Abstract

原方程组可写成：${\log }_{2}x-\frac{1}{2}{\log }_{2}y=0$，$y^2-13x^2+36=0$，即 $x=\sqrt{y}$，$y^2-13x^2+36=0$。 把第一式代入第二式，得 $y^2-13y+36=0$，即 $(y-9)(y-4)=0$。所以 $y_1=9$，$y_2=4$。把 $y_1=9$，$y_2=4$ 分别代入第一式，求得 $x_1=3$，$x_2=2$。经检验，都是原方程的根。所以原方程的解为 $x_1=3$，$y_1=9$ 和 $x_2=2$，$y_2=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程组

核心方法：换底统一+代入消元

避坑指南：${\log }_{4}y=\frac{1}{2}{\log }_{2}y$ 得 $x=\sqrt{y}$，代入得 $y^2-13y+36=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解方程组

结论推广：$x_1=3$，$y_1=9$；$x_2=2$，$y_2=4$

方法推广：换底后需检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-吉林-07 解-对数换底公式