1977-新疆理-11 解-对数方程

本题导读

本题考查对数方程（参考题）。核心在于化指数方程求解并验根。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 解方程：${\log }_{16-3x}(x-2)={\log }_8(2\sqrt{2})$.

🔍【思路分析】

破题导航

${\log }_8(2\sqrt{2})=\frac{1}{2}$，$(16-3x{)}^{1/2}=x-2$，平方得 $x^2-x-12=0$。

✅【答案】

Success

$x=4$

✍【详细解析】

Abstract

${\log }_8(2\sqrt{2})={\log }_8{8}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$，故 ${\log }_{16-3x}(x-2)=\frac{1}{2}$，由对数定义 $(16-3x{)}^{\frac{1}{2}}=x-2$。两边平方 $16-3x=x^2-4x+4$，$x^2-x-12=0$，$(x-4)(x+3)=0$，$x_1=4$、$x_2=-3$。其中 $x=-3$ 为增根（使底数与真数不合法），舍去。故原方程解为 $x=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程

核心方法：对数定义化指数方程，验根

避坑指南：log₁₆₋₃ₓ(x-2)=1/2，(16-3x)^(1/2)=x-2，x=4（x=-3 增根）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于对数方程，考查对数定义与验根。

结论推广：对数方程化指数方程后必须验根。

方法推广：x=-3 使底数或真数不合法，是增根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

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• 1977-湖北-04 解-对数方程组