1977-河南-05 解-正方形全等证垂直

本题导读

本题考查全等三角形。核心在于 $BC=CD$、$CE=CF$ 得 $△BCE\cong △DCF$，把 $\angle FDC$ 转移给 $\angle EBC$，再由直角三角形两锐角互余推出 $\angle DGB=90^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 如图，已知正方形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上任意一点 $E$，延长 $BC$ 到 $F$，使 $CF=CE$，设 $BE$ 与 $DF$ 相交于 $G$，求证 $BG\perp DF$.

🔍【思路分析】

破题导航

Rt$△BCE\cong$Rt$△DCF$（$BC=CD$，$CE=CF$）得 $\angle GBC=\angle FDC$；又 $\angle EBC+\angle BEC=90^{\circ }$ 且 $\angle BEC=\angle DEG$，故 $\angle FDC+\angle DEG=90^{\circ }$，即 $△DGB$ 中 $\angle DGB=90^{\circ }$。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

在 Rt$△BCE$ 和 Rt$△DCF$ 中，因为 $BC=CD$（正方形的边长相等），$CE=CF$（已知），所以 $△BCE\cong △DCF$。 所以 $\angle GBC=\angle FDC$（对应角相等）。 又因为 $\angle EBC+\angle BEC=90^{\circ }$，而 $\angle BEC=\angle DEG$（对顶角相等），所以 $\angle FDC+\angle DEG=90^{\circ }$。 所以 $\angle DGB=90^{\circ }$。即 $BG\perp DF$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正方形全等证垂直

核心方法：全等三角形+角度和

避坑指南：$△BCE\cong △DCF$ 转移角，在 $△DGB$ 中得直角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$BG\perp DF$

方法推广：全等转移角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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